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规范答题强化练(一)函数与导数(45分钟48分)1.(12分)已知函数f(x)=ax+x2-xln a-b(a,bR,a1),e是自然对数的底数.(1)当a=e,b=4时,求函数f(x)的零点个数.(2)若b=1,求f(x)在-1,1上的最大值.【解析】(1)f(x)=ex+x2-x-4,所以f(x)=ex+2x-1,所以f(0)=0,当x0时,ex1,所以f(x)0,故f(x)是(0,+)上的增函数,当x0时,ex1,所以f(x)0,故f(x)是(-,0)上的减函数,(3分)f(1)=e-40,所以存在x1(1,2)是f(x)在(0,+)上的唯一零点;f(-2)=+20,f(-1)=-20时,由a1,可知ax-10,ln a0,所以f(x)0,(8分)当x1,可知ax-10,所以f(x)1),因为g(x)=1+-=0(当且仅当x=1时等号成立),所以g(x)在(0,+)上单调递增,而g(1)=0,所以当x1时,g(x)0,即a1时,a-2ln a0,所以f(1)f(-1).所以f(x)在-1,1上的最大值为f(1)=a-ln a.(12分)2.(12分)设函数f(x)=-kln x,k0.(1)求f(x)的单调区间和极值.(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,上仅有一个零点.【解析】(1)由f(x)=-kln x(k0)得f(x)=x-=.(2分)由f(x)=0解得x=.f(x)与f(x)在区间(0,+)上的情况如下:x(0,)(,+)f(x)-0+f(x)(4分)所以,f(x)的单调递减区间是(0,),单调递增区间是(,+);f(x)在x=处取得极小值f()=.(6分)(2)由(1)知,f(x)在区间(0,+)上的最小值为f()=.因为f(x)存在零点,所以0,(8分)从而ke.当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0,所以x=是f(x)在区间(1,上的唯一零点.(10分)当ke时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且f(1)=0,f()=0.(1)若x=1是函数h(x)=f(x)+g(x)的极值点,求实数a的值.(2)若对任意的x1,x21,e(e为自然对数的底数)都有f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围.【解析】(1)由已知h(x)=2x+ln x,x,所以h(x)=2-+.(2分)因为x=1是函数h(x)的极值点,所以h(1)=0,即3-a2=0,因为a0,所以a=.(4分)(2)对任意的x1,x21,e都有f(x1)g(x2)成立,等价于对任意的x1,e都有f(x)ming(x)max.(6分)当x1,e时,g(x)=1+0,所以g(x)=x+ln x在上是增函数,所以g(x)max=g(e)=e+1,因为f(x)=1-=,且x1,e,a0,当0a0,所以函数f(x)=x+在1,e上是增函数,所以f(x)min=f(1)=1+a2,由1+a2e+1,得a,又0a1,所以a不合题意.当1ae时,若1xa,则f(x)=0,若a0,所以函数f(x)=x+在1,a)上是减函数,在(a,e上是增函数,(7分)所以f(x)min=f(a)=2a,由2ae+1,得a,又1ae,所以ae.(8分)当ae且x1,e时,f(x)=e,所以ae.综上所述,a的取值范围为.(12分)4.(12分)已知函数f(x)=ln x+,其中常数k0. (1)讨论f(x)在(0,2)上的单调性.(2)当k4,+)时,若曲线y=f(x)上总存在相异两点M(x1,y1),N(x2,y2),使曲线y=f(x)在M,N两点处的切线互相平行,试求x1+x2的取值范围.【解析】(1)由已知得,f(x)的定义域为,且f(x)=-1=-=-(k0).(2分)当0kk0,且2,所以x(0,k)时,f(x)0.(3分)所以,函数f(x)在(0,k)上是减函数,在(k,2)上是增函数;(4分)当k=2时,=k=2,f(x)2时,0,所以x时,f(x)0,所以函数在上是减函数,在上是增函数.(6分)(2)由题意,可得f(x1)=f(x2),x1x20且x1x2,即-1=-1,化简得,4(x1+x2)=x1x2,(8分)由x1x2,得4(x1+x2)对k4,+)恒成立,令g(k)=k+,则g(k)=1-=0对k4,+)恒成立,(10分)所以g(k)在4,+)上单调递增,则g(k)g(4)=5,所以,所以x1+x2,故x1+x2的取值范围为.(12分)
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