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第58练立体几何中的轨迹问题基础保分练1.在等腰直角ABC中，ABAC，BC2，M为BC的中点，N为AC的中点，D为BC边上一个动点，ABD沿AD翻折使BDDC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是()A.线段NO为定长B.CO1，)C.AMOADB180D.点O的轨迹是圆弧2.已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1与平面A1B1C1D1垂直，且ADAB，E为CC1的中点，P在对角面BB1D1D所在平面内运动，若EP与AC成30角，则点P的轨迹为()A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆3.(2019杭州二中模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AD4，CD2，ADC，点E是线段AD上的一个动点.将EDC沿EC翻折得到EDC(仍在平面ABCD内)，连接DA，则DA的最小值为()A.22B.21C.D.14.(2019嵊州模拟)如图，已知矩形ABCD，E是边AB上的点(不包括端点)，且AEAD，将ADE沿DE翻折至ADE，记二面角ABCD为，二面角ACDE为，二面角ADEB为，则()A.B.C.D.5.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA12，ABBC1，ABC90，外接球的球心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点.有下列判断：直线AC与直线C1E是异面直线；A1E一定不垂直于AC1；三棱锥EAA1O的体积为定值；AEEC1的最小值为2.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.46.如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，点E为CD的中点，F为线段CE(端点除外)上一动点.现将DAF沿AF折起，使得平面ABD平面ABCF.设直线FD与平面ABCF所成的角为，则sin的最大值为()A.B.C.D.7.在正方体ABCDA1B1C1D1中(如图)，已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：三棱锥AD1PC的体积不变；直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；二面角PAD1C的大小不变；若M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1.其中真命题的序号是()A.B.C.D.8.如图，平面，l，A，B是l上的两个点，C，D在内，DAl，CBl，ABBC2AD6，在平面上有一动点P使得PC，PD与所成的角相等(Pl)，设二面角PCDB的平面角为，则tan()A.仅有最大值B.仅有最小值C.既有最大值又有最小值D.无最值9.如图，在四面体DABC中，ADBDACBC5，ABDC6.若M为线段AB上的动点(不包含端点)，则二面角DMCB的余弦值的取值范围是_.10.(2019台州模拟)如图，在棱长为2的正四面体SABC中，动点P在侧面SAB内，PQ底面ABC，垂足为Q，若PSPQ，则PC长度的最小值为_.能力提升练1.(2019浙江金华十校联考)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别是直线CD，AB上的动点，点P是A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为，若的最小值为，则点P的轨迹是()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.抛物线的一部分D.双曲线的一部分2.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，点H在棱AA1上，且HA11.在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长.则当点P运动时，|HP|2的最小值是()A.21B.22C.23D.253.如图在正四面体(所有棱长都相等)DABC中，动点P在平面BCD上，且满足PAD30，若点P在平面ABC上的射影为P，则sinPAB的最大值为()A.B.C.D.4.a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，若直线AB与a所成角为60，则AB与b所成角为()A.60B.30C.90D.455.如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，平面区域W由所有满足A1P的点P组成，则W的面积是_，四面体PA1BC的体积的最大值是_.6.(2019浙大附中模拟)如图，矩形ABCD中，AB1，BC，将ABD沿对角线BD向上翻折，若翻折过程中AC长度在内变化，则点A所形成的运动轨迹的长度为_.答案精析基础保分练1C2.A3.A4.B5.C6.A7C8.D9.解析取AB的中点M0，则CM0DM04，AM0BM03，DM0AB，CM0AB，DM0CM0M0，AB平面DM0C，又AB平面ABC，平面ABC平面DM0C，交线为M0C.过点D作DOM0C，则DO平面ABC.先设点M在线段M0B上运动，作OGMC，连接DG，则DGO为二面角DMCB的平面角的补角在DM0C中，cosDM0C，sinDM0C，DO4，OM0.设MM0t，则CM，OC4，又OGCMM0COG，在DOG中，DG6，cosDGO，又t0,3)，cosDGO，由对称性知，二面角DMCB的余弦值的取值范围为.10.解析作PHAB于点H，连接QH，则PHQ为二面角SABC的平面角，设AB的中点为G，S在平面ABC内的射影为O(O为ABC的中心)，连接SG，GO，SO，则SGO也是二面角SABC的平面角，则sinPHQsinSGO，所以PHPQ，所以PHPS，所以点P的轨迹是侧面SAB内以AB为准线，以S为焦点的抛物线，SG的中点O是抛物线的顶点，O到C的距离就是PC的最小值，此时由余弦定理可知，PC22()22，所以PCmin.能力提升练1B把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为，直线D1P与MN所成角的最小值，是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为，点P在以D1为顶点的圆锥的侧面上，又点P是A1C1D内的动点(不包括边界)，点P的轨迹是椭圆的一部分故选B.2B点P到平面CDD1C1距离就是点P到直线CC1的距离，所以点P到点F的距离等于点P到直线CC1的距离，因此点P的轨迹是以F为焦点，以CC1为准线的抛物线，在面A1ABB1中作HKBB1于K，连接KP，在RtHKP中，|HK|2|PK|2|HP|2，而|HK|4，要想|HP|2最小，只要|PK|最小即可，由题意易求得|PK|6，所以|HP|2最小值为22，故选B.3A以AD为轴，DAP30，AP为母线，围绕AD旋转一周，在平面BCD内形成的轨迹为椭圆，当且仅当点P位于椭圆的短轴端点(图中点M的位置)时，PAB最大，此时ADDM，且DMBC.设正四面体DABC的各棱长为2，在RtADM中，AD2，MAD30，则MD，AM.过点D作正四面体DABC的高DO，O为底面正三角形ABC的中心，连接AO，作MP平面ABC于点P，连接PO，并延长交AB于点N，因为DMBC，MP平面ABC，DO平面ABC，所以MPDO且MPDO，四边形MPOD为矩形，所以PODM，ON，所以PN.又在正四面体DABC中，AO2，所以DO，所以MP.在RtAMP中，AP，于是在APN中，由正弦定理可得，解得sinPAB，故选A.4A由题意知，a，b，AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体棱长为1，故|AC|1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C为坐标原点，以CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CA所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则D(1,0,0)，A(0,0,1)，直线a的方向单位向量a(0,1,0)，|a|1，直线b的方向单位向量b(1,0,0)，|b|1，设B点在运动过程中的坐标B(cos，sin，0)，其中为BC与CD的夹角，0,2)，AB在运动过程中的向量(cos，sin，1)，|，与b所成夹角为，与a所成夹角为，|cos|，|cos|，当与a夹角为60时，即，|sin|cos|，当与a的夹角为120时，|sin|，cos2sin21，|cos|cos|，或，此时AB与b所成角为60.5.解析由题意可知，满足A1P的点P是以A1为球心，为半径的球及其内部的点，又因为点P在正方形ABCD的边界及其内部运动，所以平面区域W是以A为圆心，1为半径的圆的，所以可知W的面积是；点A1到平面PBC的距离为h2，所以四面体PA1BC的体积为hSPBCSPBC，所以当点P是AD的中点时，SPBC取得最大值为2，四面体PA1BC的体积取得最大值.6.解析如图1，过点A作AOBD，垂足为点O，过点C作直线AO的垂线，垂足为点E，则易得AOOE，CE1.在图2中，由旋转的性质易得点A在以点O为圆心，以AO为半径的圆上运动，且BD垂直于圆O所在的平面又因为CEBD，所以CE垂直于圆O所在的平面，设当A运动到点A1处时，CA1，当A运动到点A2处时，CA2，则有CEEA1，CEEA2，则易得EA1，EA2，则易得OEA2是以O为顶点的等腰直角三角形，在OEA1中，由余弦定理易得cosEOA1，所以EOA1120，所以A1OA230，所以点A所形成的轨迹为半径为OA，圆心角A1OA230的圆弧，所以运动轨迹的长度为.
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