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第29练立体几何中的向量方法、抛物线明晰考情1.命题角度：空间角的计算，顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质.2.题目难度：中档难度.考点一空间角的计算要点重组设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2).平面，的法向量分别为(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(以下相同).(1)线线夹角设l，m的夹角为，则cos.(2)线面夹角设直线l与平面的夹角为，则sin|cosa，|.(3)二面角设l的夹角为(0)，则|cos|cos，v|.方法技巧利用空间向量求解立体几何中的综合问题，要根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系，将题中条件数量化，利用计算方法求解几何问题.1.如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，ABBC2，ADPD4，BAD60，ADP120，点E为PA的中点.(1)求证：BE平面PCD；(2)若平面PAD平面ABCD，求直线BE与平面PAC所成角的正弦值.(1)证明取PD中点F，连结CF，EF.因为点E为PA的中点，所以EFAD且EFAD，又因为BCAD且BCAD，所以EFBC且EFBC，所以四边形BCFE为平行四边形，所以BECF，又BE平面PCD，CF平面PCD，所以BE平面PCD.(2)解在平面ABCD中，过点D作DGAD，在平面PAD中，过点D作DHAD.因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，DG平面ABCD，所以DG平面PAD，又DH平面PAD，所以DGDH，所以DA，DG，DH两两互相垂直.以D为原点，DA，DG，DH所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Dxyz(如图)，则A(4，0，0)，B(3，0)，C(1，0)，P，E，所以(3，0)，设n(x，y，z)是平面ACP的一个法向量，则即取x1，则y，z，得n(1，).设直线BE与平面PAC所成角为，则sin|cosn，|，所以直线BE与平面PAC所成角的正弦值为.2.如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD.(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(2)证明：平面AMD平面CDE；(3)求二面角ACDE的余弦值.(1)解如图所示，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz.设AB1，依题意得B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0，1,1)，F(0,0,1)，M，A(0,0,0).则(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60.(2)证明由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得0，0.因此，CEAM，CEAD.又AMADA，AM平面AMD，AD平面AMD，故CE平面AMD.又CE平面CDE，所以平面AMD平面CDE.(3)解设平面CDE的法向量为u(x，y，z)，则即令x1，可得u(1,1,1).又由题设知，平面ACD的一个法向量为v(0,0,1).所以cosu，v.因为二面角ACDE为锐角，所以其余弦值为.3.如图，已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，ABCD，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中点.(1)证明：平面PAD平面PCD；(2)求AC与PB所成角的余弦值；(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角(锐角)的余弦值.(1)证明建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，M.因为(0,0,1)，(0,1,0)，故0，所以APDC.由题设知ADDC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，所以DC平面PAD.又DC平面PCD，所以平面PAD平面PCD.(2)解因为(1,1,0)，(0,2，1)，所以|，|，2，所以cos，.(3)解设平面AMC的一个法向量为n1(x1，y1，z1).则取x11，得y11，z12，所以n1(1，1,2).同理可得平面BMC的一个法向量为n2(1,1,2).因为cosn1，n2.所以平面AMC与平面BMC所成二面角(锐角)的余弦值为.4.(2018江苏省邗江中学调研)如图，在三棱锥ABCD中，已知ABD，BCD都是边长为2的等边三角形，E为BD的中点，且AE平面BCD，F为线段AB上一动点，记.(1)当时，求异面直线DF与BC所成角的余弦值；(2)当CF与平面ACD所成角的正弦值为时，求的值.解连结CE, 以EB，EC，EA所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0，)，B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，因为F为线段AB上一动点，且，则(1,0，)(，0，), 所以F(1，0，).(1)当时，F，(1，0)，所以cos，所以异面直线DF与BC所成角的余弦值为. (2)(1，)，(1,0，)，设平面ACD的一个法向量为n(x，y，z)，则取x，得n(，1，1)，设CF与平面ACD所成的角为，则sin |cos，n|.解得或2(舍去)，所以.考点二抛物线要点重组(1)抛物线方程中，字母p的几何意义是抛物线的焦点F到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离.牢记它对解题非常有益.(2)求抛物线方程时，若由已知条件可知曲线是抛物线，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，再正确选择抛物线标准方程.(3)在解题中，抛物线上的点、焦点、准线三者通常与抛物线的定义相联系，要注意相互转化.5.(1)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，2)，求它的标准方程.(2)已知A，B是抛物线y22px(p0)上不同的两点，O为坐标原点，若OAOB，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程.解(1)抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，2)，可设它的标准方程为y22px(p0).点M在抛物线上，(2)22p2，即p2.因此，所求抛物线的标准方程是y24x.(2)如图所示.设A(x0，y0)，由题意可知，B(x0，y0).又F是AOB的垂心，则AFOB，kAFkOB1，即1，yx0.又y2px0，x02p.因此直线AB的方程为x.6.已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)两点，且AB9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求的值.解(1)直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，又x1,2，所以x1x2.由抛物线定义得ABx1x2p9，所以p4，所以抛物线方程为y28x.(2)由p4,4x25pxp20，化简得x25x40，从而x11，x24，y12，y24，从而A(1，2)，B(4,4).设(x3，y3)(1，2)(4,4)(14，24).又因为y8x3，即2(21)28(41)，即(21)241，解得0或2.综上0或2.7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(8，4)，P(2，t)(t0)在抛物线y22px(p0)上.(1)求p，t的值；(2)过点P作PM垂直于x轴，M为垂足，直线AM与抛物线的另一交点为B，点C在直线AM上.若PA，PB，PC的斜率分别为k1，k2，k3，且k1k22k3，求点C的坐标.解(1)将点A(8，4)代入y22px，得p1.所以抛物线的方程为y22x.将点P(2，t)代入y22x，得t2.因为t0，所以t2.(2)依题意，点M的坐标为(2,0)，直线AM的方程为yx.联立解得B.所以k1，k22，代入k1k22k3，得k3，从而直线PC的方程为yx，联立解得C.8.已知倾斜角为的直线经过抛物线：y22px(p0)的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，且AB8.(1)求抛物线的方程；(2)过点P(12,8)的两条直线l1，l2分别交抛物线于点C，D和E，G，线段CD和EG的中点分别为M，N.如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点.(1)解由题意可设直线AB的方程为yx，由消去y整理得x23px0，9p248p20，令A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23p，由抛物线的定义得ABx1x2p4p8，p2.抛物线的方程为y24x.(2)证明设直线l1，l2的倾斜角分别为，由题意知，.直线l1的斜率为k，则ktan.直线l1与l2的倾斜角互余，tantan，直线l2的斜率为.直线CD的方程为y8k(x12)，即yk(x12)8.由消去x整理得ky24y3248k0，设C(xC，yC)，D(xD，yD)，yCyD，xCxD24，点M的坐标为.以代替点M坐标中的k，可得点N的坐标为(122k28k,2k)，kMN.直线MN的方程为y2kx(122k28k)，即yx10，显然当x10时，y0，故直线MN经过定点(10，0).1.如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABAD，BC，AB1，BDPA2.(1)求异面直线BD与PC所成角的余弦值；(2)求二面角APDC的余弦值.解(1)因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以PAAB，PAAD.又ADAB，故分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.根据条件得AD.所以B(1,0,0)，D(0，0)，C，P(0,0,2)，从而(1，0)，.设异面直线BD，PC所成的角为，则cos|cos，|.即异面直线BD与PC所成角的余弦值为.(2)因为AB平面PAD，所以平面PAD的一个法向量为(1,0,0)，设平面PCD的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n，(0，2)，得解得不妨取z3，得n(2,2，3).设二面角APDC的大小为，则coscos，n.即二面角APDC的余弦值为.2.(2018江苏省泰州中学月考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，AB3，BC5.(1)求直线A1B与平面BB1C1所成角的正弦值；(2)求二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值.解(1)如图，以A为原点，AC，AB，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则B(0,3,0)，A1(0,0,4)，B1(0,3,4)，C1(4,0,4).则(0,0，4)，(4，3,4)，设平面B1BC1的法向量为m(x，y，z)，则即令x3，则y4，所以m(3,4,0)，又(0,3，4).设直线A1B与平面BB1C1所成的角为，则sin |cosm，A1B|，所以直线A1B与平面BB1C1所成角的正弦值为.(2)设平面A1BC1的法向量为n(x，y，z)，则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3).由(1)可得平面B1BC1的法向量m(3,4,0).所以cosn，m.由图形知二面角A1BC1B1为锐角，所以二面角A1BC1B1的余弦值为.(3)设D(x，y，z)是线段BC1上一点，且BC1(01)，所以(x，y3，z) (4，3,4)，解得x4，y33，z4，所以(4，33，4)，由A1B0，得9250，解得.所以在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，此时.3.已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F，直线y4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且QF2PQ.(1)求p的值；(2)已知点T(t，2)为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.解(1)设Q(x0,4)，由抛物线定义知QFx0，又QF2PQ，即2x0x0，解得x0，将点Q代入抛物线方程，解得p4.(2)由(1)知，C的方程为y28x，所以点T的坐标为，设直线MN的方程为xmyn，点M，N，由得y28my8n0，64m232n0.所以y1,24m2，所以y1y28m，y1y28n，所以kMTkNT，解得nm1，所以直线MN的方程为x1m(y1)，恒过定点(1，1).4.如图，M，N是焦点为F的抛物线y22px(p0)上两个不同的点，且线段MN的中点A的横坐标为4.(1)求MFNF的值；(2)若p2，直线MN与x轴交于点B，求点B横坐标的取值范围.解(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x28p，MFx1，NFx2，MFNFx1x2p8.(2)当p2时，y24x，若直线MN的斜率不存在，则B(3,0)；若直线MN的斜率存在，设A(3，t)(t0)，则由(1)知yy4(x1x2)，kMN，直线MN的方程为yt(x3)，点B的横坐标为xB3，由消去x，得y22ty2t2120，由(2t)24(2t212)0，可得0t212，点B的横坐标xB3(3,3).综上，点B横坐标的取值范围是(3,3.
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