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综合检测三(标准卷)考生注意:1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共4页2答卷前,考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间120分钟,满分150分4请在密封线内作答,保持试卷清洁完整第卷(选择题共60分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1集合A2,3,a,B3,a2,若AB3,a,则a的值为()A0B1C1D0或1答案D解析(特值法)通过观察题干和选项,取a0,则A2,3,0,B3,0,AB3,0,排除B,C;取a1,则A2,3,1,B3,1,AB3,1,排除A.故选D.2已知复数z(其中i为虚数单位),若z为纯虚数,则实数a等于()A1B0C1D.答案C解析若复数zi为纯虚数,则0,且0,即a1,故选C.3下列说法中正确的是()A“f(0)0”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件B若p:x0R,xx010,则綈p:xR,x2x10,则綈p:xR,x2x10,所以B错误;p,q只要有一个是假命题,则pq是假命题,所以C错误;否命题是将原命题的条件和结论都否定,所以D正确4已知sincos,则cos2等于()A1B1C.D0答案D解析sincos,cossincossin,即sincos,tan1,cos2cos2sin20.5下列四个图中,函数y的图象可能是()答案C解析y是奇函数,其图象向左平移1个单位所得图象对应的函数解析式为y,y的图象关于(1,0)中心对称,故排除A,D,当x2时,y0恒成立,排除B.6已知非零向量a,b,则使得|ab|a|b|成立的一个充分不必要条件是()AabBa2b0C.Dab答案B解析|ab|a|b|成立,其充要条件是向量a,b共线且方向相反当a2b0时,a2b,|ab|a|b|成立;反之,不成立7实数x,y满足则z|xy|的最大值是()A2B4C6D8答案B解析由题意画出可行域如图中阴影部分(含边界)所示,令myx,则m为直线l:yxm在y轴上的截距,由图知在点A(2,6)处m取最大值4,在C(2,0)处取最小值2,所以m2,4,所以z0,4,即z的最大值是4,故选B.8若数列x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是()A(,2 B(,0C4,) D(,04,)答案D解析在等差数列中,a1a2xy;在等比数列中,xyb1b2.2.当xy0时,2,故4;当xy0时,2,故0.故选D.9已知0ab1,则ab,logba,的大小关系是()AablogbaBlogbaabClogbaabDablogba答案A解析因为0ab1,所以0ablogbb1,又1,所以0.综上得ab0,b0)的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在一点M,使得()0(其中O为坐标原点),且|,则双曲线的离心率为()A.1B.C.D.1答案D解析,()()()0,即20,|c,在MF1F2中,边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半,可得.|,可设|,|(0),得()224c2,解得c,|c,|c,根据双曲线定义得2a|(1)c,双曲线的离心率e1.第卷(非选择题共90分)二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分把答案填在题中横线上)13在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M,则满足AMB90的概率为_答案解析如图,以AB为直径作圆,则圆在正方形ABCD内的区域为半圆,其面积S12,满足条件AMB90的点M在半圆内,故所求概率P.14.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示:队员i123456三分球个数a1a2a3a4a5a6如图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图,则图中判断框应填_,输出的S_.答案i7?(i6?)a1a2a6解析由题意知,程序框图是要统计6名队员投进的三分球的总数,由程序框图的循环逻辑知识可知判断框应填i0)是函数yf(x)的一个“伙伴点组”中的一个点,则其关于原点的对称点(m,n)必在该函数图象上,故消去n,整理得m2kmk10.若函数f(x)有两个“伙伴点组”,则该方程组有两个不等的正实数根,得解得k22.故实数k的取值范围是(22,)三、解答题(本题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12分)已知数列中,a11,其前n项和为Sn,且满足an(n2,nN*)(1)证明:数列是等差数列;(2)证明:S1S2S3Sn.证明(1)当n2时,SnSn1,Sn1Sn2SnSn1,2,数列构成以1为首项,2为公差的等差数列(2)由(1)可知,(n1)22n1,Sn(nN*)S1S2S3Sn.18(12分)如图1,C,D是以AB为直径的圆上两点,AB2AD2,ACBC,F是AB上一点,且AFAB,将圆沿直径AB折起,使点C在平面ABD内的射影E在BD上,如图2.(1)求证:AD平面BCE;(2)求证:AD平面CEF.证明(1)由题意知,ADBD.CE平面ABD,CEAD.BDCEE,BD,CE平面BCE,AD平面BCE.(2)在RtABD中,AB2,AD,BD3.如图,连接AE.在RtACE和RtBCE中,ACBC,CECE,RtACERtBCE(HL),AEBE.设DEx,则AEBE3x.在RtADE中,AD2DE2AE2,3x2(3x)2,解得x1,BE2.,ADEF,AD平面CEF,EF平面CEF,AD平面CEF.19(12分)甲、乙两个班级共有105名学生,某次数学考试按照“大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀”的原则统计成绩后,得到如下22列联表:优秀非优秀总计甲班10乙班30总计105已知从甲、乙两个班级中随机抽取1名学生,其成绩为优秀的概率为.(1)请完成上面的22列联表;(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为成绩与班级有关系?(3)按下面的方法从甲班成绩优秀的学生中抽取1名学生:把甲班成绩优秀的10名学生从2至11进行编号,先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数之和作为被抽取人的编号,求抽到6号或10号的概率附:K2,其中nabcd.P(K2k0)0.050.01k03.8416.635解(1)设甲、乙两个班级数学考试成绩优秀的总人数为x,则,解得x30.得到如下22列联表:优秀非优秀总计甲班104555乙班203050总计3075105(2)根据列联表中的数据,得到K26.1093.841,因此,可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为成绩与班级有关系(3)设“抽到6号或10号”为事件A,先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子,出现的点数记为(x,y),则所有的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(6,6),共36个事件A包含的基本事件有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(4,6),(5,5),(6,4),共8个,所以P(A).20(12分)设f(x),其中a为正实数(1)当a时,求f(x)的极值点;(2)若f(x)为R上的单调函数,求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时,若f(x)0,则4x28x30,解得x1,x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:xf(x)00f(x)极大值极小值所以x1是极小值点,x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数,则f(x)在R上不变号,结合与条件a0,知ax22ax10在R上恒成立,即4a24a4a(a1)0,由此并结合a0,知0a1.所以a的取值范围为a|0a121(12分)已知可行域的外接圆C与x轴交于A1,A2两点,椭圆C1以线段A1A2为长轴,离心率e.(1)求圆C及椭圆C1的方程;(2)设椭圆C1的右焦点为F,点P为圆C上异于A1,A2的动点,过原点O作直线PF的垂线交直线x2于点Q,判断直线PQ与圆C的位置关系,并给出证明解(1)由题意可知,可行域是以A1(2,0),A2(2,0)及点M(1,)为顶点的直角三角形,(3,)(1,)0,外接圆C以原点O为圆心,线段A1A2为直径,故圆C的方程为x2y24.2a4,a2.又e,c,可得b.椭圆C1的方程为1.(2)直线PQ与圆C相切证明如下:设P(x0,y0)(x02),则y4x.当x0时,P(,),Q(2,0),kOPkPQ1,OPPQ;当x0时,kPF,kOQ.直线OQ的方程为yx.因此,点Q的坐标为.kPQ.当x00时,kPQ0,OPPQ;当x00时,kOP,kPQkOP1,OPPQ.综上,当x02时,OPPQ,直线PQ始终与圆C相切请在第2223题中任选一题作答22(10分)已知曲线C1的极坐标方程为6cos.曲线C2的极坐标方程为(R),两曲线相交于A,B两点(1)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;(2)求弦AB的长度解(1)由6cos,得26cos,所以x2y26x,即曲线C1的直角坐标方程为(x3)2y29.由(R),可知曲线C2的直角坐标方程为yx.(2)因为圆心(3,0)到直线yx的距离d,r3,所以弦长|AB|23,所以弦AB的长为3.23(10分)设函数f(x)|kx1|(kR)(1)若不等式f(x)2的解集为,求k的值;(2)若f(1)f(2)5,求k的取值范围解(1)由|kx1|2,得2kx12,所以1kx3,所以x1.由已知,得1,所以k3.(2)由已知,得|k1|2k1|5.当k时,(k1)(2k1)1,此时1k;当k1时,(k1)(2k1)5,得k5,此时1时,(k1)(2k1)5,得k,此时1k.综上,k的取值范围是.
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