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第1课时余弦定理及其应用学习目标1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题知识点一余弦定理在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有余弦定理语言叙述三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍公式表达a2b2c22bccos A，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC推论cosA，cosB，cosC思考在a2b2c22bccosA中，若A90，公式会变成什么？答案a2b2c2，即勾股定理知识点二余弦定理可以用于两类解三角形问题(1)已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角(2)已知三角形的三边，求三角形的三个角1在ABC中，已知两边及夹角时，ABC不一定唯一()2在ABC中，三边一角随便给出三个，可求其余一个()3在ABC中，若a2b2c20，则角C为直角()4在ABC中，若a2b2c20，则角C为钝角()题型一用余弦定理解三角形命题角度1已知两边及其夹角例1在ABC中，a1，b2，cosC，则c；sinA.答案2解析根据余弦定理，得c2a2b22abcosC12222124，解得c2.由a1，b2，c2，得cosA，所以sinA.反思感悟已知三角形两边及其夹角时，应先从余弦定理入手求出第三边跟踪训练1在ABC中，已知a2，b2，C15，求A.解由余弦定理，得c2a2b22abcosC84，所以c.由正弦定理，得sinA，因为ba，所以BA，所以A为锐角，所以A30.命题角度2已知三边例2在ABC中，已知a2，b62，c4，求A，B，C.解根据余弦定理，得cos A.A(0，)，A，cos C，C(0，)，C.BAC，A，B，C.反思感悟已知三边求三角，可利用余弦定理的推论先求一个角跟踪训练2在ABC中，sinAsinBsinC245，判断三角形的形状解因为abcsinAsinBsinC245，所以可令a2k，b4k，c5k(k0)c最大，cosCbc，C为最小角且C为锐角，由余弦定理，得cosC.又C为锐角，C.3如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为()A.B.C.D.答案D解析设顶角为C，周长为l，因为l5c，所以ab2c，由余弦定理，得cosC.4在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2b2c2ac，则角B为()A.B.C.或D.或答案A解析a2b2c2ac，cosB，又角B为ABC的内角，B.5(2018青岛模拟)如图所示，在ABC中，已知点D在BC边上，ADAC，sinBAC，AB3，AD3，则BD的长为_答案解析sinBACsin(90BAD)cosBAD，在ABD中，有BD2AB2AD22ABADcosBAD，BD21892333，BD.1余弦定理与勾股定理的关系：余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例2利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题(1)已知两边和夹角，解三角形(2)已知三边求三角形的任意一角一、选择题1在ABC中，已知B120，a3，c5，则b等于()A4B.C7D5答案C解析b2a2c22accos B3252235cos 12049，b7.2在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若abc357，则C的大小是()A.B.C.D.答案B解析abc357，设a3k，b5k，c7k，k0，由余弦定理得cos C，又0C，C.3边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是()A90B120C135D150答案B解析设中间角为，则为锐角，cos，60，18060120为所求4在ABC中，已知b2ac且c2a，则cosB等于()A.B.C.D.答案B解析b2ac，c2a，b22a2，cosB.5在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，b2，cos(AB)，则c等于()A4B.C3D.答案D解析由三角形内角和定理可知cosCcos(AB)，又由余弦定理得c2a2b22abcosC9423217，所以c.6在ABC中，若满足sin2Asin2BsinBsinCsin2C，则A等于()A30B60C120D150答案D解析设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2Asin2Bsin Bsin Csin2C，由正弦定理得a2b2c2bc，cos A，又0A0，且cosC0，7a225，a5.8在ABC中，AB3，BC，AC4，则边AC上的高为()A.B.C.D3答案B解析由余弦定理，得cosA，从而sinA，则AC边上的高hABsinA3.二、填空题9在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a，且b2c23bc，则角A的大小为答案60解析a，且b2c23bc，b2c2a2bc，b2c2a2bc，cosA，0A180，A60.10在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2c2，且sinC，则C.答案解析因为a2b2c2，所以cos C.又因为sin C，所以C.11在ABC中，A60，最大边长与最小边长是方程x29x80的两个实根，则边BC的长为答案解析设内角B，C所对的边分别为b，c.A60，可设最大边与最小边分别为b，c.由条件可知bc9，bc8，BC2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A922828cos 6057，BC.三、解答题12在ABC中，已知A120，a7，bc8，求b，c.解由余弦定理，得a2b2c22bccosA(bc)22bc(1cosA)，所以49642bc，即bc15, 由解得或13.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从点O沿OD走到点D用了2min，从点D沿DC走到点C用了3min.若此人步行的速度为50m/min，求该扇形的半径解依题意得OD100m，CD150m，连接OC，易知ODC180AOB60，因此由余弦定理，得OC2OD2CD22ODCDcosODC，即OC2100215022100150，解得OC50(m)14若ABC的三边长分别为AB7，BC5，CA6，则的值为()A19B14C18D19答案D解析设三角形的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，依题意得a5，b6，c7.|cos(B)accos B.由余弦定理得b2a2c22accos B，accos B(b2a2c2)(625272)19，19.15已知a，b，c是ABC的三边长，若直线axbyc0与圆x2y21无公共点，则ABC的形状是()A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D不能确定答案B解析直线axbyc0与圆x2y21无公共点，圆心(0,0)到直线axbyc0的距离d1，即a2b2c20，cos C0，又C(0，)，C为钝角故ABC为钝角三角形
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