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4逻辑联结词“且”“或”“非”学习目标1.了解联结词“且”“或”“非”的含义.2.会用联结词“且”“或”“非”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.掌握根据命题真假求参数取值范围的方法知识点一含有逻辑联结词“且”“或”的命题1用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p且q.2用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p或q.知识点二含有逻辑联结词“非”的命题一般地，对命题p加以否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”一个命题p与这个命题的否定綈p，必然一个是真命题，一个是假命题一个命题的否定的否定仍是原命题知识点三含有逻辑联结词“且”“或”“非”的命题的真假1含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：(1)“p且q”形式命题：当命题p，q都是真命题时，p且q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p且q是假命题(2)“p或q”形式命题：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，p或q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p或q是假命题(3)“綈p”形式命题：当p为真命题时，綈p为假命题；当p为假命题时，綈p为真命题2命题真假判断的表格如下：pqp或qp且q非p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真即“p且q”一假即假，全真方真；“p或q”一真即真，全假方假；p与“非p”真假相对1逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中()2“p或q为假命题”是“p为假命题”的充要条件()3“梯形的对角线相等且平分”是“p或q”形式的命题()4命题的否定与否命题是两个不同的概念()题型一区分命题的构成形式例1指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题(1)方程2x210没有实数根；(2)12能被3或4整除；(3)有两个内角是45的三角形是等腰直角三角形考点“或”“且”“非”的综合问题题点识别命题的构成形式解(1)这个命题是“綈p”形式的命题，其中p：方程2x210有实根(2)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：12能被3整除，q：12能被4整除(3)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45的三角形是直角三角形反思感悟1.辨别含逻辑联结词的命题的构成形式时，应根据组成含逻辑联结词的命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定含逻辑联结词的命题的形式，准确理解语义，应注意抓住一些关键词如“是，也是”，“兼”，“不但，而且”，“既，又”，“要么，要么”等2要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式如a3是a3或a3，xy0是x0或y0，x2y20是x0且y0.跟踪训练1命题“三角形的一边大于另两边之差，而小于另两边之和”是_形式的复合命题考点“且”的概念题点判断命题是否为“且”命题答案p且q题型二利用逻辑联结词构造新命题例2分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题(1)p：6是自然数；q：6是偶数；(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直；(3)p：3是9的约数；q：3是18的约数解(1)p或q：6是自然数或是偶数p且q：6是自然数且是偶数綈p：6不是自然数(2)p或q：菱形的对角线相等或互相垂直p且q：菱形的对角线相等且互相垂直綈p：菱形的对角线不相等(3)p或q：3是9的约数或是18的约数p且q：3是9的约数且是18的约数綈p：3不是9的约数反思感悟用逻辑联结词“且”“或”“非”构造新命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可以进行适当的省略和变形跟踪训练2分别写出下列命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题(1)p：函数y3x2是偶函数，q：函数y3x2是增函数；(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角；(3)p：方程x22x10有两个相等的实数根，q：方程x22x10两根的绝对值相等解(1)p且q：函数y3x2是偶函数且函数y3x2是增函数p或q：函数y3x2是偶函数或函数y3x2是增函数非p：函数y3x2不是偶函数(2)p且q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角p或q：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角非p：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和(3)p且q：方程x22x10有两个相等的实数根且方程x22x10两根的绝对值相等p或q：方程x22x10有两个相等的实数根或方程x22x10两根的绝对值相等非p：方程x22x10没有实数根或有两个不相等的实数根题型三含逻辑联结词的命题的真假判断例3指出下列命题中的“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假(1)p：3是13的约数，q：3是方程x24x30的解；(2)p：x211，q：34；(3)p：四边形的一组对边平行，q：四边形的一组对边相等解(1)因为p假q真，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真；(2)因为p真q假，所以“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为假；(3)因为p假q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，“非p”为真反思感悟判断含逻辑联结词的命题真假的步骤(1)确定命题的形式(2)判断构成该命题的两个命题的真假(3)根据“p或q”“p且q”“綈p”的真假性与命题p，q的真假性的关系作出判断跟踪训练3若(綈p)或q是假命题，则()Ap且q是假命题Bp或q是假命题Cp是假命题D綈q是假命题答案A解析由于(綈p)或q是假命题，则綈p与q均是假命题，所以p是真命题，綈q是真命题，所以p且q是假命题，p或q是真命题，故选A.由复合命题的真假求参数的范围典例已知p：方程x2mx10有两个不等的负实数根；q：方程4x24(m2)x10无实数根，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数m的取值范围考点“或”“且”“非”的综合问题题点由复合命题的真假求参数的范围解p：方程x2mx10有两个不等的负实数根m2.q：方程4x24(m2)x10无实数根16(m2)21601m3.所以綈p：m2，綈q：m1或m3.因为“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，所以p为真且q为假，或p为假且q为真(1)当p为真且q为假时，即p为真且綈q为真，所以解得m3；(2)当p为假且q为真时，即綈p为真且q为真，所以解得10”是“x20”的必要不充分条件，命题q：ABC中，“AB”是“sinAsinB”的充要条件，则()Ap真q假Bp且q为真Cp或q为假Dp假q真考点“且”“或”形式的命题题点判断“p或q”“p且q”形式命题的真假答案D解析命题p假，命题q真2给出下列命题：21或13；方程x22x40的判别式大于或等于0；25是6或5的倍数；集合AB是A的子集，且是AB的子集其中真命题的个数为()A1B2C3D4考点“且”“或”形式的命题题点判断“p或q”“p且q”形式命题的真假答案D解析由于21是真命题，所以“21或13”是真命题；由于方程x22x40的4160，所以“方程x22x40的判别式大于或等于0”是真命题；由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；由于ABA，ABAB，所以命题“集合AB是A的子集，且是AB的子集”是真命题3已知命题p：1x|(x2)(x3)0，命题q：0，则下列判断正确的是()Ap假q真B“p或q”为真C“p且q”为真D“綈p”为真答案B解析由(x2)(x3)0得2xy，则xy；命题q：若xy，则x2y，则xy成立，即p为真命题；当x1，y1时，满足xy，但x20，且两根p为真命题，q为假命题，所以非p为假命题，非q为真命题；p且q为假命题，p或q为真命题，故选C.4由下列各组命题构成的新命题“p或q”“p且q”都为真命题的是()Ap：449，q：74Bp：aa，b，c，q：aa，b，cCp：15是质数，q：8是12的约数Dp：2是偶数，q：2不是质数考点“且”“或”形式的命题题点判断“p或q”“p且q”形式命题的真假答案B解析“p或q”“p且q”都为真，则p真q真，故选B.5命题p：点P在直线y2x3上；命题q：点P在曲线yx2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是()A(0，3) B(1,2)C(1，1) D(1,1)考点“p且q”形式的命题题点已知“p且q”命题的真假求参数答案C解析点(x，y)满足解得P(1，1)或P(3，9)，故选C.6给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件答案A解析因为綈p是q的必要不充分条件，所以q綈p但綈pq，所以p綈q但綈qp，故p是綈q的充分不必要条件7已知p，q是两个命题，若“綈(p或q)”是真命题，则()Ap，q都是假命题Bp，q都是真命题Cp是假命题且q是真命题Dp是真命题且q是假命题考点“綈p”形式的命题的真假判断题点判断“綈p”命题的真假答案A解析由复合命题真值表得：若“綈(p或q)”是真命题，则p或q为假命题，则命题p，q都是假命题8已知命题p：“任意的x1,2，都有x2a”，命题q：“存在xR，使得x22ax2a0成立”若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是()Aa2B2a0，b0，则ab1是ab2的必要不充分条件，命题q：函数ylog2的定义域是(，2)(3，)，则()Ap或q为假Bp且q为真Cp真q假Dp假q真考点“且”“或”形式的命题题点判断“p或q”“p且q”形式命题的真假答案D解析由命题p：a0，b0，ab1得ab22，所以p为假命题；命题q：由0得x3，所以q为真命题二、填空题10设p：2xy3，q：xy6，若p且q为真命题，则x_，y_.考点“p且q”形式命题真假性的判断题点由“p且q”形式命题的真假求参数的值答案33解析若p且q为真命题，则p，q均为真命题，所以有解得11已知命题p：x2x6，q：xZ.若“p且q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为_答案1,0,1,2解析因为“p且q”为假，命题“綈q”为假，所以q为真，p为假故即因此，x的值可以是1,0,1,212设命题p：a20，命题p且q为假，p或q为真，则实数a的取值范围是_考点“p或q”与“p且q”形式的命题题点由命题“p或q”“p且q”的真假求参数的范围答案解析由a2a得0a1，p：0a0恒成立知16a240，a，q：a，p且q为假，p或q为真，p与q一真一假，p假q真时，a0，p真q假时，a0的解集为R且不等式x22x21的解集为.考点“p且q”形式命题真假性的判断题点判断“p且q”形式命题的真假解(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x22x10的解集为R，q：不等式x22x21的解集为.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题14已知命题p：|4x|6，q：x22x1a20(a0)，若非p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解綈p即|4x|6，解得x10或x10或x2，q：x22x1a20，解得x1a或x1a，记Bx|x1a或x1a，綈pq，即A是B的真子集，所以解得00对一切xR恒成立”都是真命题由关于x的方程ax22x10有解，得a0或即a0或a1且a0，所以a1.由ax2ax10对一切xR恒成立，得a0或即a0或0a4，所以0a4.由得0a1，故实数a的取值范围是0,1
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