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11导数与函数的单调性学习目标1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断(证明)函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间知识点一导函数的符号与函数的单调性的关系(1)在区间(a，b)内函数导数的符号与函数单调性有如下关系：导函数的正、负函数的单调性f(x)0增加的f(x)0，则f(x)仍是增加的(减少的情形完全类似)(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.知识点二函数的变化快慢与导函数的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图像就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图像就“平缓”一些1函数的导数越小，函数值的变化越慢，函数的图像就越“平缓”()2函数在某一点处的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”()3函数在某个区间上变化的越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大()4若f(x)在区间(a，b)上可导，则“f(x)0”是“f(x)在(a，b)上是增加的”的充要条件()5若f(x)的图像在a，b上是一条连续曲线，且f(x)在(a，b)上f(x)0，解得x2；由f(x)0，解得3x0，即20，解得x.令f(x)0，即20，解得0x0和f(x)0的区间为递增区间，定义域内满足f(x)0，(x2)20.由f(x)0，得x3，所以函数f(x)的递增区间为(3，)；由f(x)0，得x3.又函数f(x)的定义域为(，2)(2，)，所以函数f(x)的递减区间为(，2)和(2,3)题型三含参数函数的单调性例3若函数f(x)kxlnx在区间(1，)上是增加的，则k的取值范围是_考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数答案1，)解析由于f(x)k，f(x)kxlnx在区间(1，)上是增加的，得f(x)k0在(1，)上恒成立因为k，而00时，函数的递增区间为，递减区间为.2若f(x)kxlnx在区间(1，)上不单调，则k的取值范围是_答案(0,1)解析由引申探究1知k0，且1，则0k0(或f(x)0，f(x)的递增区间为(0，)；当a0时，f(x)，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)由上表可知，函数f(x)的递减区间是(0，)；递增区间是(，)(2)由g(x)x22alnx，得g(x)2x，由已知函数g(x)为1,2上为减函数，则g(x)0在1,2上恒成立，即2x0在1,2上恒成立，即ax2在1,2上恒成立令h(x)x2，则h(x)2x0，故f(x)在(0，)上是增加的；当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上是减少的；当0a1时，令f(x)0，解得x，则当x时，f(x)0，故f(x)在上是减少的，在上是增加的综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上是增加的；当a0时，f(x)在(0，)上是减少的；当0a0，解得x2，所以f(x)的递增区间是(2，)2函数yf(x)的图像如图所示，则导函数yf(x)的图像可能是()考点函数变化的快慢与导数的关系题点根据原函数图像确定导函数图像答案D解析函数f(x)在(，0)，(0，)上都是减函数，当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0.故选D.3若函数yf(x)a(x3x)的递减区间为，则a的取值范围是_考点利用函数的单调性求变量题点已知函数的单调性求参数答案(0，)解析f(x)a(3x21)3a，令f(x)0，由已知得x0.4已知a0且a1，证明：函数yaxxlna在(，0)上是减少的考点利用导数研究函数的单调性题点根据导数判定(证明)函数的单调性证明yaxlnalnalna(ax1)，当a1时，因为lna0，ax1，所以y0，即y在(，0)上是减少的；当0a1时，因为lna1，所以y0和f(x)0)故函数在(1，)上是减少的，在(0,1)上是增加的故选B.2函数yf(x)xcosxsinx的递增区间为()A.B.C.D.考点利用导数研究函数的单调性题点根据导数判定函数的单调性答案B解析ycosxxsinxcosxxsinx，若yf(x)在某区间内是增加的，只需在此区间内y0恒成立即可，只有选项B符合题意，当x(，2)时，y0恒成立3函数f(x)xlnx的递减区间为()A(，1 B1，)C(0,1 D(0，)考点利用导数研究函数的单调性题点不含参数求单调区间答案C解析f(x)1(x0)，令f(x)0，解得00，所以在(4,5)上f(x)是增函数5函数f(x)ax3x在R上是减少的，则()Aa0Ba1Ca0时，显然不符合题意，当a0时，成立故a0.6已知函数yxf(x)的图像如图所示，选项中的四个图像能大致表示yf(x)的图像的是()答案C解析由题图可知，当x1时，xf(x)0，所以f(x)0，此时原函数是增加的，图像应是上升的；当1x0时，xf(x)0，所以f(x)0，此时原函数为是减少的，图像应是下降的；当0x1时，xf(x)0，所以f(x)0，此时原函数是减少的，图像应是下降的；当x1时，xf(x)0，所以f(x)0，此时原函数是增加的，图像应是上升的由上述分析可知选C.7已知函数f(x)在定义域R上为增函数，且f(x)0，则g(x)x2f(x)在(，0)内的单调情况一定是()A减少的B增加的C先增加后减少D先减少后增加考点利用导数研究函数的单调性题点根据导数判定(证明)函数的单调性答案B解析因为函数f(x)在定义域R上是增加的，所以f(x)0在R上恒成立又因为g(x)2xf(x)x2f(x)，所以当x(，0)时，g(x)0恒成立，所以g(x)x2f(x)在(，0)内是增加的8函数f(x)的定义域为R，f(1)1，对任意xR，f(x)2x1的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数求解不等式答案C解析令g(x)f(x)2x1，则g(x)f(x)2g(1)0时，x0，即f(x)2x1的解集为(，1)二、填空题9已知函数f(x)kex1xx2(k为常数)，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，则f(x)的递减区间为_考点利用导数研究函数的单调性题点含参数的函数求单调区间答案(，0)解析f(x)kex11x，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线与x轴平行，f(0)ke110，解得ke，故f(x)exx1.令f(x)0，解得x0，故f(x)的递减区间为(，0)10函数f(x)的图像如图所示，f(x)为函数f(x)的导函数，则不等式0的解集为_考点函数变化快慢与导数的关系题点求解不等式答案(3，1)(0,1)解析由题图知，当x(，3)(1,1)时，f(x)0，故不等式0，求证：xsinx.考点利用导数研究函数的单调性题点利用导数证明不等式证明设f(x)xsinx(x0)，则f(x)1cosx0对x(0，)恒成立，函数f(x)xsinx在(0，)上是增加的，又f(0)0，f(x)0对x(0，)恒成立，xsinx(x0)13若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)内是减少的，在区间(6，)内是增加的，试求实数a的取值范围考点利用函数的单调性求变量题点已知函数的单调性求参数解f(x)x2axa1(x1)x(a1)，令f(x)0，得x11，x2a1.因为f(x)在(1,4)内是减少的，所以当x(1,4)时，f(x)0；因为f(x)在(6，)内是增加的，所以当x(6，)时，f(x)0.所以4a16，解得5a7，所以实数a的取值范围为5,714f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是_考点题点答案(，3)(0,3)解析令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，因此函数h(x)在R上是奇函数当x0，h(x)在(，0)上是增加的，h(3)f(3)g(3)0，由h(x)0，得x0时，函数h(x)在R上是奇函数，h(x)在(0，)上是增加的，且h(3)h(3)0，h(x)0的解集为(0,3)，不等式f(x)g(x)0)当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)f(x)的递增区间为(0,1)和(3，)，f(x)的递减区间为(1,3)要使函数f(x)在区间上是单调函数，则解得m.即实数m的取值范围为.
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