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课时作业(六)第6讲函数的奇偶性与周期性时间 /45分钟分值 /100分基础热身1.下列函数中,在其定义域上是偶函数的是()A.y=2-xB.y=x-3C.y=sinxxD.y=lg(2-x)-lg(2+x)2.2018泉州3月模拟 已知函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(x+4),f(1)=1,则f(-9)=()A.-1B.-5C.1D.53.函数f(x)=2-x-2,x0为奇函数,则fg(2)=()A.-2B.-1C.0D.24.函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数,若f(x)在-1,0上是减函数,则f(x)在2,3上是()A.减函数B.增函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数5.若函数f(x)=1x-2m+1是奇函数,则实数m=.能力提升6.2018烟台模拟 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x(-1,0)时,f(x)=e-x,则f92=()A.eB.-eC.1eD.-1e7.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x),则f(2019)=()A.-3B.0C.1D.38.2018江西师大附中月考 若函数y=f(2x-1)是偶函数,则函数y=f(2x+1)的图像的对称轴方程是()A.x=-1B.x=0C.x=12D.x=-129.2018雅安三诊 偶函数f(x)在0,+)上单调递增,若f(-2)=1,则满足f(x-2)1的x的取值范围是()A.0,2B.-2,2C.0,4D.-4,410.函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0x1时,f(x)=2x(1-x),则f52的值为()A.12B.14C.-14D.-1211.2018天津河西区三模 设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x0时,f(x)=-x2+1,0x1,2-2x,x1,若对任意的xm,m+1,不等式f(1-x)f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是()A.-1B.-13C.-12D.1312.2019广州大学附中等三校一联 已知函数f(x)是(-,+)上的奇函数,且f(x)的图像关于直线x=1对称,当x0,1时,f(x)=2x-1,则f(2018)的值为()A.-2B.-1C.0D.113.若函数f(x)是偶函数,且x0时,f(x)=lg(x+1),则满足f(2x+1)0时,f(x)=x+4x,且当x-3,-1时,nf(x)m恒成立,则m-n的最小值是()A.3B.4C.1D.218.(5分)2018四川南充二诊 已知函数f(x)=2xx-1,函数g(x)对任意的xR都有g(2018-x)=4-g(x-2016)成立,设y=f(x)与y=g(x)的图像的m(m为偶数)个交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则i=1m(xi+yi)=.课时作业(六)1.C解析y=2-x在其定义域上是非奇非偶函数;y=x-3在其定义域上是奇函数;y=sinxx在其定义域上是偶函数;y=lg(2-x)-lg(2+x)在其定义域上是奇函数.因此选C.2.C解析 因为f(x)是偶函数且周期为4,所以f(-9)=f(9)=f(8+1)=f(1)=1,故选C.3.D解析函数f(x)=2-x-2,x0为奇函数,g(x)=-2x+2,g(2)=-22+2=-2,fg(2)=f(-2)=22-2=2,故选D.4.B解析 因为f(x)是R上以2为周期的偶函数,且在-1,0上是减函数,所以f(x)在0,1上为增函数,在1,2上为减函数,在2,3上为增函数.故选B.5.12解析f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),即1-x-2m+1=-1x-2m+1,-x-2m+1=-x+2m-1,-2m+1=2m-1,m=12.6.B解析 由函数f(x)满足f(x+2)=f(x),知函数f(x)是以2为周期的周期函数,则f92=f92-4=f12.又函数f(x)为奇函数且当x(-1,0)时,f(x)=e-x,所以f12=-f-12=-e-12=-e,即f92=-e,故选B.7.B解析 由已知得f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是周期为6的周期函数,所以f(2019)=f(3366+3)=f(3).因为f(-x)=-f(x),所以f(0)=0,又因为f(3-x)=f(x),所以f(3)=f(0)=0.故选B.8.A解析 因为函数y=f(2x-1)是偶函数,所以函数y=f(2x-1)的图像关于y轴对称.因为函数y=f(2x+1)的图像是由函数y=f(2x-1)的图像向左平移1个单位长度得到的,所以函数y=f(2x+1)的图像的对称轴是直线x=-1,故选A.9.C解析 因为f(-2)=1,所以f(x-2)1可化为f(x-2)f(-2),而函数f(x)是偶函数,所以f(|x-2|)f(2),又函数f(x)在0,+)上单调递增,所以|x-2|2,解得0x4.故选C.10.A解析 由函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),f(x)的周期为2,又当0x1时,f(x)=2x(1-x),f52=f12=2121-12=12,故选A.11.B解析 易知函数f(x)在0,+)上单调递减,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以函数f(x)在(-,0)上单调递增,则由f(1-x)f(x+m),得|1-x|x+m|,即(1-x)2(x+m)2,即g(x)=(2m+2)x+m2-10在m,m+1上恒成立,则g(m)=(3m-1)(m+1)0,g(m+1)=(m+1)(3m+1)0,解得-1m-13,即m的最大值为-13.12.C解析 因为f(x)的图像关于直线x=1对称,所以f(x+2)=f(-x),又f(x)是(-,+)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2018)=f(5044+2)=f(2)=f(0)=20-1=0.故选C.13.(-5,4)解析当x0时,f(x)=lg(x+1),1=f(9),且f(x)在0,+)上单调递增,又f(x)是偶函数,由f(2x+1)1得f(|2x+1|)f(9).f(x)在0,+)上单调递增,|2x+1|9,解得-5x4,实数x的取值范围是(-5,4).14.2解析f(x)+f(-x)=ln(x+x2+1)+ln(-x+(-x)2+1)=0,f(a)+f(b-2)=0,f(a)=f(2-b),由f(x)=ln(x+x2+1),可得f(x)单调递增,则a=2-b,a+b=2.15.解:(1)证明:f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),f(x)是周期为4的周期函数.(2)当x-2,0时,-x0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函数,当x-2,0时,-f(x)=f(-x)=-2x-x2,当x-2,0时,f(x)=x2+2x.又当x2,4时,x-4-2,0,此时f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期为4的周期函数,当x2,4时,f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,当x2,4时,f(x)=x2-6x+8.(3)易知f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.f(x)是周期为4的周期函数,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0,f(0)+f(1)+f(2)+f(2017)=f(2016)+f(2017)=f(0)+f(1)=1.16.解:(1)因为f(x)=px2+23x+q是奇函数,所以f(x)的定义域关于原点对称,所以q=0,所以f(x)=px2+23x.又f(2)=53,所以4p+26=53,解得p=2.(2)由(1)知f(x)=2x2+23x,则f(x)在(-,-1)上是增函数.下面给出证明:任取x1x2-1,则f(x1)-f(x2)=2x12+23x1-2x22+23x2=2(x2-x1)(1-x1x2)3x1x2.因为x1x20,1-x1x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,f(x)=x+4x在1,2上单调递减,在(2,3上单调递增,所以f(x)min=f(2)=4,又f(1)=5f(3)=133,所以f(x)max-f(x)min=f(1)-f(2)=5-4=1.故选C.18.3m解析 对任意的xR都有g(2018-x)=4-g(x-2016)成立,即g(2018-x)+g(x-2016)=4,故g(x)的图像关于点(1,2)中心对称,函数f(x)=2xx-1=2+2x-1的图像也关于点(1,2)中心对称,即两个函数的图像有相同的对称中心,故每两个关于点(1,2)对称的交点的横坐标之和为2,纵坐标之和为4,故x1+x2+xm=m22=m,y1+y2+ym=m24=2m,故i=1m(xi+yi)=3m.
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