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南京市六校联合体高二期末试卷数学（理科） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1. 设为虚数单位，复数，则的模_.【答案】【解析】分析：利用复数的除法法则运算得到复数，然后根据复数模的公式进行求解即可详解： 即答案为.点睛：本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，以及复数模的计算，同时考查计算能力，属基础题2. 一根木棍长为5米，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度都大于2米的概率为_.【答案】【解析】分析：由题意可得，属于与区间长度有关的几何概率模型，试验的全部区域长度为5，基本事件的区域长度为1，利用几何概率公式可求详解：“长为5的木棍”对应区间 ，“两段长都大于2”为事件 则满足的区间为 ，根据几何概率的计算公式可得， 故答案为：点睛：本题考查几何概型，解答的关键是将原问题转化为几何概型问题后应用几何概率的计算公式求解3. 命题“若，则复数为纯虚数”的逆命题是_命题.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】分析：写出命题“若，则复数为纯虚数”的逆命题，判断其真假.详解：命题“若，则复数为纯虚数”的逆命题为“若复数为纯虚数，则”，它是真命题.点睛：本题考查命题的真假的判断，属基础题.4. 已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为_.【答案】2【解析】分析：根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果详解：平均数为： 即答案为2.点睛：本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立5. 将一颗骰子抛掷两次，用表示向上点数之和，则的概率为_.【答案】【解析】分析：利用列举法求出事件“”包含的基本事件个数，由此能出事件“”的概率详解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，用表示向上点数之和，则基本数值总数，事件“”包含的基本事件有：共6个，事件“”的概率即答案为.点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用6. 用分层抽样的方法从某校学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人.已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为_.【答案】900【解析】试题分析：因为，抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽取20人，高三年级抽取10人，所以，高二抽取了15人，又高二年级共有学生300人，所以，抽样比为，因此，该校的高中学生的总人数为45=900.考点：本题主要考查分层抽样。点评：简单题，关键是弄清抽样比=样本数样本总数。7. 函数在点处切线方程为，则=_.【答案】4【解析】分析：因为在点处的切线方程，所以 ，由此能求出详解：因为在点处切线方程为，所以 从而即答案为4.点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化8. 若的展开式中所有二项式系数和为64，则展开式中的常数项是_.【答案】240【解析】分析：利用二项式系数的性质求得n的值，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项详解：的展开式中所有二项式系数和为，则 ；则展开式的通项公式为 令，求得，可得展开式中的常数项是故答案为：240点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题9. 根据如图所示的伪代码可知,输出的结果为_.【答案】72【解析】分析：模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的的值，可得当 时不满足条件，退出循环，输出的值为72详解：模拟程序的运行，可得 满足条件，执行循环体， 满足条件，执行循环体， ；满足条件，执行循环体， ；满足条件，执行循环体，；不满足条件，退出循环，输出的值为72故答案为：72点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，当循环的次数不多或有规律时，常采用模拟执行程序的方法解决，属于基础题10. 若，则=_.【答案】365【解析】分析：令 代入可知 的值，令 代入可求得的值，然后将两式相加可求得的值详解：中，令 代入可知 令代入可得，除以相加除以2可得.即答案为365.点睛：本题主要考查的是二项展开式各项系数和，充分利用赋值法是解题的关键11. 已知R，设命题P：；命题Q：函数只有一个零点.则使“PQ”为假命题的实数的取值范围为_.【答案】【解析】分析：通过讨论，分别求出为真时的的范围，根据 为假命题，则命题均为假命题，从而求出的范围即可详解：命题中，当时，符合题意当时， ，则 ，所以命题为真，则，命题中， 由 ，得 或，此时函数单调递增，由，得，此时函数单调递减即当时，函数 取得极大值，当时，函数取得极小值，要使函数只有一个零点，则满足极大值小于0或极小值大于0，即极大值 ，解得 极小值 ，解得 综上实数的取值范围：或为假命题，则命题均为假命题 即或 ， 即答案为点睛：本题考查了复合命题的判断及其运算，属中档题.12. 有编号分别为1，2，3，4，5的5个黑色小球和编号分别为1，2，3，4，5的5个白色小球，若选取的4个小球中既有1号球又有白色小球，则有_种不同的选法.【答案】136【解析】分析：分两种情况：取出的4个小球中有1个是1 号白色小球；取出的4个小球中没有1 号白色小球.详解：由题，黑色小球和白色小球共10个，分两种情况：取出的4个小球中有1个是1 号白色小球的选法有种；取出的4个小球中没有1 号白色小球，则必有1号黑色小球，则满足题意的选法有种，则满足题意的选法共有种.即答案为136.点睛：本题考查分步计数原理、分类计数原理的应用，注意要求取出的“4个小球中既有1号球又有白色小球”13. 观察下列等式：请你归纳出一般性结论_.【答案】 【解析】分析：根据题意，观察各式可得其规律，用将规律表示出来即可（，且为正整数）详解：根据题意，观察各式可得：第式中，；式中，第式中，；规律可表示为： 即答案为 .点睛：本题要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题14. 乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是,甲赢得比赛的概率是,则的最大值为_.【答案】【解析】分析：采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率；进而求得的最大值.因为 与 互斥，所以甲胜概率为 则 设 即答案为.点睛：本题考查概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15. 在平面直角坐标系中，以为极点，为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是(为参数)求直线被曲线截得的弦长.【答案】【解析】分析：首先求得直角坐标方程，然后求得圆心到直线的距离，最后利用弦长公式整理计算即可求得最终结果；详解：利用加减消元法消去参数得曲线的直角坐标方程是，同时得到直线的普通方程是 ，圆心到直线的距离，则弦长为 直线被曲线截得的弦长为 点睛：本题考查了圆的弦长公式，极坐标方程、参数方程与直角坐标方程互化等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题16. 在棱长为的正方体中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1EEO. （1）若=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值;（2）若平面CDE平面CD1O，求的值.【答案】（1）（2）2【解析】分析：以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点的坐标，（1）求出异面直线 与1的方向向量用数量积公式两线夹角的余弦值（或补角的余弦值）（2）求出两个平面的法向量，由于两个平面垂直，故它们的法向量的内积为0，由此方程求参数的值即可详解： (1)以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则A(1，0，0)，D1(0，0，1)，E， 于是，.由cos.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为. （2）设平面CD1O的向量为m=(x1，y1，z1)，由m0，m0得 取x11，得y1z11，即m=(1，1，1) . 8分由D1EEO，则E，=.10分又设平面CDE的法向量为n(x2，y2，z2)，由n0，n0.得 取x2=2，得z2，即n(2，0，) .12分因为平面CDE平面CD1F，所以mn0，得 点睛：本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线，面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度17. 已知，（1）求的值;（2）若且，求的值;（3）求证：.【答案】（1）（2）（3）见解析【解析】分析：（1）令，根据可求的值；（2）由，解得可求的值;（3）利用二项展开式及放缩法即可证明.：详解：（1）令，则=0，又 所以（2）由，解得，所以 （3）点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题18. 某抛掷骰子游戏中，规定游戏者可以有三次机会抛掷一颗骰子，若游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分.游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.用随机变量表示该游戏者所得分数.（1）求该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率;（2）求随机变量的分布列和数学期望【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为、，该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件则；(2)由题意可知，的可能取值为、，分别求出，得到的分布列及数学期望详解：该游戏者抛掷骰子成功的概率分别为、，该游戏者有机会抛掷第3次骰子为事件则；答：该游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为(2)由题意可知，的可能取值为、， ， ，所以的分布列为所以的数学期望点睛：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用19. 已知函数（1）若在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围;（2）若在处有极值10，求的值;（3）若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）m（2）（3）m1 ，1【解析】分析：(1) 由在区间上是单调递增函数得，当 时， 恒成立，由此可求实数的取值范围;（2），由题或，判断当时，无极值，舍去，则可求；（3）对任意的，有恒成立，即在上最大值与最小值差的绝对值小于等于2求出原函数的导函数，分类求出函数在的最值，则答案可求；详解： (1) 由在区间上是单调递增函数得，当 时， 恒成立，即 恒成立，解得 （2），由题或 当时，无极值，舍去. 所以（3）由对任意的x1，x21，1，有| f(x1)f(x2)|2恒成立，得fmax(x)fmin(x)2且| f(1)f(0)|2，| f(1)f(0)|2，解得m1，1， 当m=0时，f(x)0，f(x)在1，1上单调递增，fmax(x)fmin(x)= | f(1)f(1)|2成立 当m(0，1时，令f(x)0，得x(m，0)，则f(x)在(m，0)上单调递减；同理f(x)在(1， m)，(0，1)上单调递增，f(m)= m3+m2，f(1)= m2+m+1，下面比较这两者的大小，令h(m)=f(m)f(1)= m3m1，m0，1，h(m)= m210，则h(m)在(0，1 上为减函数，h(m)h(0)=10，故f(m)f(1)，又f(1)= m1+m2m2=f(0)，仅当m=1时取等号.所以fmax(x)fmin(x)= f(1)f(1)=2成立 同理当m1 ，0)时，fmax(x)fmin(x)= f(1)f(1)=2成立 综上得m1 ，1点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法与分类讨论的数学思想方法，是难题20. 把圆分成个扇形，设用4种颜色给这些扇形染色，每个扇形恰染一种颜色，并且要求相邻扇形的颜色互不相同，设共有种方法.(1)写出，的值；(2)猜想 ，并用数学归纳法证明。【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）根据题意，得；（2）分析可得 ，用用数学归纳法证明即可详解：（1） （2）当时，首先，对于第1个扇形，有4种不同的染法，由于第2个扇形的颜色与的颜色不同，所以，对于有3种不同的染法，类似地，对扇形，均有3种染法对于扇形，用与不同的3种颜色染色，但是，这样也包括了它与扇形颜色相同的情况，而扇形与扇形颜色相同的不同染色方法数就是，于是可得 猜想当时，左边，右边，所以等式成立假设时，则时， 即时，等式也成立综上 点睛：本题考查考查归纳分析能力，考查数学归纳法的应用，属中档题
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