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北京市东城区20172018学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共100分。考试时长120分钟。第一部分（选择题 共36分）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数，互为共轭复数，若，则A. B. C. D. 2. 在对两个变量x，y进行线性回归分析时有下列步骤： 对所求出的回归直线方程作出解释； 收集数据（，），i=1，2，n； 求线性回归方程； 选用线性回归方程并求相关系数； 根据所搜集的数据绘制散点图，确定存在线性关系。 若根据可靠性要求能够作出变量x，y具有线性相关结论，则下列操作顺序正确的是A. B. C. D. 3. 等于A. B. C. D. 14. 若随机变量，且，则A. B. C. D. 5. 下面几个推理过程是演绎推理的是A. 在数列中，根据，计算出，,的值，然后猜想的通项公式 B. 某校高二共8个班，一班51人，二班52人，三班52人，由此推测各班人数都超过50人 C. 因为无限不循环小数是无理数，而是无限不循环小数，所以是无理数D. 由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质6. 6将一枚均匀的硬币连掷5次，如果出现k次正面的概率等于出现次正面的概率，那么k的值为A. 1B. 2C. 3D. 47. 在极坐标系中，过点且与极轴平行的直线方程是A. B. C. D. 8. 如图是正态分布，相应的曲线，那么，的大小关系是A. B. C. D. 9. 现有五张卡片，其中两张上写着数字5，三张上写着数字8，从这五张卡片中选出四张组成一个四位数，那么这样的四位数共有A. 4个B. 6个C. 10个D. 14个10. 已知，则A. f（n）共有n项，当n=2时，B. f（n）共有项，当n=2时，C. f（n）共有项，当时，D. f（n）共有项，当时，11. 已知函数f（x）的导函数是二次函数，且的图象关于y轴对称，若的极大值与极小值之和为4，则f（0）=A. 2B. 0C. 2D. 412. 如图所示，一质点P（x,y）在平面上沿曲线从A到B作匀速运动，其在x轴上的投影点Q（x，0）的运动速度的图象大致为第二部分（非选择题共64分）二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13. 学校食堂在某天中午备有5种素菜，3种荤菜，2种汤，现要配成一荤一素一汤的套餐，则可以配制出不同的套餐_种。14. 在复平面内，若复数z同时满足下列条件：；对应的点在第三象限。试写出一个满足条件的复数z=_。15. 曲线（t为参数，）与x轴的交点坐标是_。16. 在的展开式中，第三项与第五项的系数相等，则n=_；展开式中的常数项为_。17. 观察下列等式：1=1；14=（1+2）；14+9=1+2+3；14+916=（1+2+3+4）根据上述规律，第6个式子为_；第n个式子为_。18. 若曲线上存在唯一的点P，使得在点P的切线与曲线有且只有一个公共点，则称曲线存在“真切”线，给出下列曲线：；则存在“真切”线的所有曲线的序号为_三、解答题（本题共4小题，共46分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. （本题满分9分）已知，试证明a,b,c至少有一个不小于1。 20. （本题满分12分） 已知函数（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为一1 （I）求a的值并求该切线方程； （）求f（x）在区间一1，1上的最小值和最大值； （）证明：当x0时，21. （本题满分12分）某书店打算对A，B，C，D四类图书进行促销，为了解销售情况，在一天中随机调查了15位顾客（记为，1，2，3，15）购买这四类图书的情况，记录如下（单位：本）：顾客图书A11111B11111111C1111111D111111 （I）若该书店每天的人流量约为100人次，一个月按30天计算，试估计A类图书的月销量 （单位：本）；（）书店进行促销活动，对购买过两类以上（含两类）图书的顾客赠送5元电子红包现有甲、乙、丙三人，记他们获得的电子红包的总金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望；（）若某顾客已选中B类图书，为提高书店销售业绩，应继续向其推荐哪类图书?（结果不需要证明） 22. （本题满分13分） 已知函数，。 （I）若函数y=f（x）+x的最小值为0，求m的值； （）若函数y=f（x）与的图象在（1，0）处有公切线l （i）求m的值；（ii）求证：与的公切线只有l一条【试题答案】一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. A2. D3. B4. C5. C6. B7. D8. A9. C10. D11. A12. B二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）13. 3014. （答案不唯一）15. （3，0）16. 62017. 14+916+2536=（1+2+3+4+5+6）14+916+（1）n+1n2=（1）n+1（1+2+n）,18. 注：两个空的填空题第一个空填对得1分，第二个空填对得2分三、解答题（本题共4小题，共46分） 19. 本题满分9分证明：假设a,b,c都小于1，即，3 分则有而6分两者矛盾，所以假设不成立，故a,b,c至少有一个不小于19分 20. 本题满分12分解：（I）由,得2分设A（0,m），则由已知得即，解得所以，此时故在点A处的切线方程为4分（II）令，得当时，f（x）单调递减；当时，单调递增所以当时，单调递减；时，f（x）单调递增故当时，f（x）有最小值，f（ln2）=22ln2=2ln4；6分又，显然，故在区间1，1上的最大值为8分（III）证明：令，则由（II）得，故在R上单调递增又所以当时，即12分 21. 本题满分12分解：（I）（本）答：A类图书的月销量约为1000本2分（II）顾客购买两类（含两类）以上图书的概率为X可取0，5，10，154分；8分所以X的分布列为X051015P所以10分（III）图书D12分 22. （本题满分13分）解：（I）由题意，得函数，所以2分当时，函数在上单调递增，此时无最小值，舍去；当时，由，得当时，原函数单调递减；当时，原函数单调递增所以当时，函数y取最小值，即，解得m=e6分（II）（i）由，得，所以由，得，所以由已知有，解得8分（ii）设函数f（x）与h（x）上各有一点，则f（x）以点A为切点的切线方程为h（x）以点B为切点的切线方程为由两条切线重合，得消去，整理得，即令，得所以函数在（0，1）单调递减，在单调递增。又，所以函数有唯一零点x=1，从而方程组（*）有唯一解即此时函数f（x）与h（x）的图象有且只有一条公切线13分
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