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2导数的概念及其几何意义学习目标1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数.3.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程知识点一导数的概念函数yf(x)在x0点的瞬时变化率是函数yf(x)在x0点的导数用符号f(x0)表示，记作：f(x0).知识点二导数的几何意义(1)切线的概念：如图，对于割线PPn，当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线(2)导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k，即kf(x0)(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)特别提醒：曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可能有多个，甚至可以无穷多与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线1函数在某一点的导数与x值的正、负无关()2函数f(x)在xx0处的导数值是x0时的平均变化率()3若函数yf(x)在xx0处有导数，则函数yf(x)在xx0处有唯一的一条切线()4函数yf(x)在xx0处的切线与函数yf(x)的公共点不一定是一个()题型一利用定义求导数例1建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元，y是x的函数，yf(x)0.3，求f(100)，并解释它的实际意义解当x从100变为100x时，函数值y关于x的平均变化率为，f(100)，0.105，f(100)0.105表示当建筑面积为100平方米时，成本增加的速度为1050元/平方米，也就是说当建筑面积为100平方米时，每增加1平方米的建筑面积，成本就要增加1050元反思感悟求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤(1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0)(2)求平均变化率.(3)取极限，得导数f(x0).跟踪训练1利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数考点函数在一点处的导数题点根据定义求函数在某点处的导数解由导数的定义知，函数在x2处的导数f(2)，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，于是f(2) (x1)1.题型二求切线方程例2已知曲线y2x2上一点A(1,2)，求：(1)点A处的切线的斜率；(2)点A处的切线方程考点切线方程的求解及应用题点求在某点的切线方程解(1) (42x)4，点A处的切线的斜率为4.(2)点A处的切线方程是y24(x1)，即4xy20.反思感悟求曲线在某点处的切线方程的步骤跟踪训练2曲线yx21在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是_考点切线方程的求解及应用题点求在某点处的切线方程答案3解析 (4x)4，曲线yx21在点(2,5)处的切线方程为y54(x2)，即y4x3.切线与y轴交点的纵坐标是3.题型三求切点坐标例3已知抛物线y2x21分别满足下列条件，请求出切点的坐标(1)切线的倾斜角为45；(2)切线平行于直线4xy20；(3)切线垂直于直线x8y30.考点切线方程的求解及应用题点求切点坐标解设切点坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2，4x02x，当x趋于0时，趋于4x0，即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线的倾斜角为45，斜率为tan451.即f(x0)4x01，得x0，切点坐标为.(2)抛物线的切线平行于直线4xy20，k4，即f(x0)4x04，得x01，切点坐标为(1,3)(3)抛物线的切线与直线x8y30垂直，则k1，即k8，故f(x0)4x08，得x02，切点坐标为(2,9)反思感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)(2)求导函数f(x)(3)求切线的斜率f(x0)(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.(5)点(x0，y0)在曲线f(x)上，将x0代入求y0，得切点坐标跟踪训练3已知直线l：y4xa与曲线C：yf(x)x32x23相切，求a的值及切点坐标考点切线方程的求解及应用题点求切点坐标解设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)f(x)3x24x，由题意可知k4，即3x4x04，解得x0或x02，切点坐标为或(2,3)当切点为时，有4a，a.当切点为(2,3)时，有342a，a5.当a时，切点为；当a5时，切点为(2,3)题型四导数几何意义的应用例4(1)函数g(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是()A0g(2)g(3)g(3)g(2)B0g(3)g(3)g(2)g(2)C0g(2)g(3)g(2)g(3)D0g(3)g(2)g(2)0且曲线的切线的斜率逐渐增大，g(x)是增加的，g(2)g(3)，g(x)上升的越来越快，g(2)g(3)g(2)g(3)，0g(2)g(3)g(2)g(3)，故选C.(2)已知曲线f(x)2x2a在点P处的切线方程为8xy150，则实数a的值为_考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值答案7解析设点P(x0,2xa)由导数的几何意义可得f(x0)4x08，x02，P(2,8a)将x2，y8a代入到8xy150中，得a7.反思感悟利用导数的几何意义将数与形联系起来，根据图像中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小跟踪训练4(1)已知函数f(x)在R上可导，其部分图像如图所示，设a，则下列不等式正确的是()Af(1)f(2)aBf(1)af(2)Cf(2)f(1)aDaf(1)f(2)考点题点答案B解析由图像可知，在(0，)上，函数f(x)为增函数，且曲线切线的斜率越来越大，a，易知f(1)af(2)(2)曲线yx3在点(a，a3)(a0)处的切线与x轴及直线xa围成的三角形的面积为，则a_.答案1解析由题意知切线的斜率为3a2，由点斜式得切线方程为ya33a2(xa)令y0，得xa，则|a3|，解得a1.1设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()Af(x)aBf(x)bCf(x0)aDf(x0)b考点函数在一点处的导数题点根据定义求函数在某点处的导数答案C解析f(x0) (abx)a.2曲线f(x)在点(3,3)处的切线的倾斜角等于()A45B60C135D120考点切线方程的求解及应用题点求切线的倾斜角或斜率答案C解析f(x)99，f(3)1，又直线的倾斜角范围为0，180)，倾斜角为135.3.如图，函数yf(x)的图像在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)f(2)等于()A4B3C2D1考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值答案D解析由题干中的图像可得函数yf(x)的图像在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：xy4，f(2)2，f(2)1，代入可得f(2)f(2)1，故选D.4已知函数f(x)，则f(1)_.答案解析f(1).5已知点P在曲线yx3x上，直线l为曲线在P点处的切线，求直线l的倾斜角的取值范围考点题点解设P(x0，y0)，函数在点P处的导数为y3x11，设直线l的倾斜角为(0)，tan1，画出ytanx在的图像如图通过观察图像，的取值范围为.1导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)2利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点一、选择题1曲线y在点(1,1)处的切线的倾斜角为()A.B.C.D.考点切线方程的求解及应用题点求切线的倾斜角或斜率答案D解析函数y在x1处的导数为1，由tan1及0，得，故选D.2下列点中，在曲线yx2上，且在该点处的切线倾斜角为的是()A(0,0) B(2,4)C.D.考点切线方程的求解及应用题点求切点坐标答案D解析2x，又切线的倾斜角为，直线斜率为tan1，则2x1，x，y，则切点为.3设f(x)ax4，若f(1)2，则a等于()A2B2C3D3答案A解析因为f(1)a，所以f(1)a2.4若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1Ba1，b1Ca1，b1Da1，b1考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值答案A解析由题意，知k1，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选A.5设f(x)为可导函数，且满足1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是()A1B1C.D2考点切线方程的求解及应用题点求切线的倾斜角或斜率答案B解析1，1，f(1)1.6设P0为曲线f(x)x3x2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y4x1，则点P0的坐标为()A(1,0)B(2,8)C(1,0)或(1，4)D(2,8)或(1，4)考点切线方程的求解及应用题点求切点坐标答案C解析根据导数的定义可求得f(x)3x21，由于曲线f(x)x3x2在P0处的切线平行于直线y4x1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，故f(x0)3x14，解得x01，这时P0点的坐标为(1,0)或(1，4)，故选C.7.函数yf(x)的图像如图所示，下列数值排序正确的是()A0f(2)f(3)f(3)f(2)B0f(3)f(3)f(2)f(2)C0f(3)f(2)f(3)f(2)D0f(3)f(2)f(2)f(3)考点题点答案B解析设x2，x3时曲线上的点分别为A，B，点A处的切线为AT，点B处的切线为BQ，则f(3)f(2)kAB，f(3)kBQ，f(2)kAT，因为切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角，直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角，故kBQkABkAT.故选B.8设P为曲线C：f(x)x22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为()A.B1,0C0,1D.考点切线方程的求解及应用题点求切点坐标答案D解析设点P的横坐标为x0，则点P处的切线倾斜角与x0的关系为tanf(x0)2x02.，tan1，)，2x021，即x0.x0的取值范围为.二、填空题9已知函数f(x)2x3，则f(5)_.考点函数在一点处的导数题点根据定义求函数在某点处的导数答案2解析f(5)2.10曲线yx3在点(1,1)处的切线与x轴，直线x2所围成的三角形的面积为_考点切线方程的求解及应用题点求在某点处的切线方程答案解析k3，曲线yx3在点(1,1)处的切线方程为y13(x1)，即3xy20，令x2，得y4，令y0，得x，则切线与x轴，直线x2所围成的三角形面积为4.11若抛物线yx2xc上一点P的横坐标是2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为_考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值答案4解析设抛物线在P点处切线的斜率为k，k5，切线方程为y5x，点P的纵坐标为y5(2)10，将P(2,10)代入yx2xc，得c4.三、解答题12已知抛物线yax2bxc过点P(1,1)，且在点Q(2，1)处与直线yx3相切，求实数a，b，c的值考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值解抛物线过点P，abc1，又4ab，由题意知4ab1，又抛物线过点Q，4a2bc1，由解得a3，b11，c9.13设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值解f(x0)3x2ax09(3x0a)x(x)23x2ax09.f(x0)329，当x0时，f(x0)取到最小值9.函数f(x)斜率最小的切线与12xy6平行，该切线的斜率为12.912，解得a3，又a0)，g(x)x3bx，若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值考点切线方程的求解及应用题点根据切点或切线斜率求值解f(x)2ax，f(1)2a，即切线斜率k12a.g(x)3x2b，g(1)3b，即切线斜率k23b.在交点(1，c)处有公共切线，2a3b.又a11b，即ab，故可得
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