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第一章 不等关系与基本不等式章末复习学习目标1.梳理本章的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对平均值不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值不等式的应用.4.熟练掌握不等式的证明方法1实数的运算性质与大小顺序的关系：abab0，abab0，abab0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可2不等式的4个基本性质及5个推论3绝对值不等式(1)绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式去绝对值符号常见的方法有：根据绝对值的定义；分区间讨论(零点分段法)；图像法(2)绝对值三角不等式|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|ab|的几何意义表示数轴上两点间的距离；|ab|a|b|(a，bR，ab0时等号成立)；|ac|ab|bc|(a，b，cR，(ab)(bc)0时等号成立)；|a|b|ab|a|b|(a，bR，左边“”成立的条件是ab0，右边“”成立的条件是ab0)；|a|b|ab|a|b|(a，bR，左边“”成立的条件是ab0，右边“”成立的条件是ab0)4平均值不等式(1)定理1：若a，bR，则a2b22ab(当且仅当ab时取“”)(2)定理2：若a，bR，则(当且仅当ab时取“”)(3)定理3：若a，b，cR，则a3b3c33abc(当且仅当abc时取“”)(4)定理4：若a，b，cR，则(当且仅当abc时取“”)(5)推论：若a1，a2，anR，则.当且仅当a1a2an时取“”5不等式的证明方法(1)比较法(2)分析法(3)综合法(4)反证法(5)几何法(6)放缩法类型一绝对值不等式的解法例1解下列关于x的不等式(1)|x1|x3|；(2)|x2|2x5|2x.解(1)方法一|x1|x3|，两边平方得(x1)2(x3)2，8x8，x1.原不等式的解集为x|x1方法二分段讨论：当x1时，有x1x3，此时x；当1x3时，有x1x3，即x1，此时1x3；当x3时，有x1x3，x3.原不等式解集为x|x1(2)分段讨论：当x时，原不等式变形为2x2x52x，解得x7，不等式解集为.当x2时，原不等式变形为2x2x52x，解得x，不等式解集为.当x2时，原不等式变形为x22x52x，解得x，原不等式无解综上可知，原不等式的解集为.反思与感悟含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解这种方法通常称为零点分段法跟踪训练1已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|，得2x64，解得x5.所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以解得a3.类型二不等式的证明例2已知abcd，求证：.证明abcd，ab0，bc0，cd0，(ad)(ab)(bc)(cd)339.反思与感悟不等式证明的基本方法是比较法，分析法，综合法，在证明时注意对所证不等式恰当分组，选择适当的方法进行证明跟踪训练2已知a，b，cR，且abbcca1，求证：(1)abc；(2)()证明(1)要证abc，由于a，b，cR，因此只需证(abc)23，即证a2b2c22(abbcca)3，根据条件，只需证a2b2c21abbcca，由abbccaa2b2c2可知，原不等式成立(2)，在(1)中已证abc，要证原不等式成立，只需证，abbcca1，即证abc1abbcca.a，b，cR，a，b，c，abcabbcca(当且仅当abc时取等号)成立，原不等式成立类型三利用平均值不等式求最值例3已知x，y，zR，x2y3z0，则的最小值为_答案3解析由x2y3z0，得y，则3，当且仅当x3z时取“”反思与感悟利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)当和为定值时，积有最大值(2)当积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”跟踪训练3当0x时，函数f(x)的最小值为_答案4解析f(x)，x，cos x0，sin x0.故f(x)24，当且仅当tan x时取“”类型四恒成立问题例4设函数f(x)|x1|x4|a.(1)当a1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)1对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x4|1|x14x|14，f(x)min4.(2)f(x)1对任意的实数x恒成立|x1|x4|1a对任意的实数x恒成立a4.当a0时，上式成立；当a0时，a24，当且仅当a，即a2时上式取等号，此时a4成立综上，实数a的取值范围为(，0)2反思与感悟不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题当然，根据题目特点，还可能用变更主次元、数形结合等方法跟踪训练4已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(2)若|f(x)2f|k恒成立，求k的取值范围解(1)由|ax1|3，得4ax2，f(x)3的解集为x|2x1，当a0时，不合题意又当a0时，x，a2.(2)令h(x)f(x)2f|2x1|2x2|，h(x)|h(x)|1，k1，即k的取值范围是1，)1给出下列四个命题：若ab，c1，则algcblgc；若ab，c0，则algcblgc；若ab，则a2cb2c；若ab0，c0，则.其中正确命题的个数为()A1B2C3D4答案C解析正确，c1，lg c0；不正确，当0c1时，lg c0；正确，2c0；正确，由ab0，得0，故.2设a，b为正实数，以下不等式恒成立的是()；a|ab|b；a2b24ab3b2；ab2.ABCD答案D解析不恒成立，因为ab时取“”；恒成立，因为a，b均为正数；不恒成立，当a2，b1时，a2b25,4ab3b25，a2b24ab3b2.是恒成立的，因为ab22.3若a，b，c，则()AabcBcbaCcabDbac答案C解析a，b，98，ba.b，c，3553，bc.a，c，3225，ac.bac，故选C.4求不等式1的解集解111x1原不等式的解集为(2,0)5若不等式|xa|x2|1对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围解设y|xa|x2|，则ymin|a2|.因为不等式|xa|x2|1对任意xR恒成立所以|a2|1，解得a3或a1.1本章的重点是平均值不等式、绝对值不等式和不等式的证明方法要特别注意含绝对值不等式的解法2重点题型有利用不等式的基本性质、平均值不等式、绝对值不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式3重点考查利用不等式的性质、平均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题4证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养一、选择题1a，bR，那么下列不等式中不正确的是()A.2B.abC.D.答案C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(ab)2(ab)0，正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确2设0x1，则a，bx1，c中最大的是()AcBbCaD随x取值不同而不同答案A解析0x2a，(x1)0，cba.3“a4”是“对任意实数x，|2x1|2x3|a成立”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件答案B解析|2x1|2x3|2x1(2x3)|4，当a4时|2x1|2x3|a成立，即充分条件；对任意实数x，|2x1|2x3|aa4，不能推出a4，即必要条件不成立4若关于x的不等式|x1|kx恒成立，则实数k的取值范围是()A(，0 B1,0C0,1D0，)答案C解析作出y|x1|与l1：ykx的图象如图所示，当k0时，要使|x1|kx恒成立，只需k1.综上可知k0,15设a(m21)(n24)，b(mn2)2，则()AabBabCabDab答案D解析ab(m21)(n24)(mn2)24m2n24mn(2mn)20，ab.6已知a，b，c，d为实数，ab0，则下列不等式中成立的是()AbcadBbcadC.D.答案B解析将两边同乘以正数ab，得bcad，所以bcad.二、填空题7已知不等式|x2|x|a的解集不是空集，则实数a的取值范围是_答案2，)解析|x2|x|x2x|2，2|x2|x|2，不等式|x2|x|a的解集不是空集，a2.8当x1时，x3与x2x1的大小关系是_答案x3x2x1解析x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)，且x1，(x1)(x21)0.x3(x2x1)0，即x3x2x1.9定义运算“”：xy(x，yR，xy0)，当x0，y0时，xy(2y)x的最小值为_答案解析因为xy，所以(2y)x.又x0，y0，故xy(2y)x，当且仅当xy时等号成立10若f(x)2|x1|x1|且f(x)2，则x的取值范围是_答案解析f(x)2x是增函数，f(x)2，即|x1|x1|，x1，x1，无解综上x.11已知函数f(x)|xa|，若不等式f(x)3的解集为x|1x5，则实数a的值为_答案2解析由f(x)3，得|xa|3，解得a3xa3.又已知不等式f(x)3的解集为x|1x5，所以解得a2，所以实数a的值为2.三、解答题12已知函数f(x)，ab，设a，bR，求证：|f(a)f(b)|ab|.证明方法一|f(a)f(b)|ab|ab|2|ab|22a2b22a22abb21ab0时，(1ab)2212aba2b21a2b2a2b22aba2b2，ab，2aba2b2成立式成立综上知，原不等式成立方法二当ab时，原不等式显然成立当ab时，|ab|，原不等式成立13(2017全国)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围解(1)f(x)当x1时，f(x)1无解；当1x2时，由f(x)1，得2x11，解得1x2；当x2时，由f(x)1，解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1(2)由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x，而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2.当且仅当x时，|x1|x2|x2x，故m的取值范围是.四、探究与拓展14设a，b，c，d均为正数，且abcd，证明：(1)若abcd，则；(2)是|ab|cd|的充要条件证明(1)因为()2ab2，()2cd2，又abcd，abcd，所以()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2, 即(ab)24ab(cd)24cd.因为abcd，所以abcd.由(1)得.若，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，是|ab|cd|的充要条件15(2018全国)已知f(x)|x1|ax1|.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x1|，即f(x)故不等式f(x)1的解集为.(2)当x(0,1)时，|x1|ax1|x成立等价于当x(0,1)时，|ax1|1成立若a0，则当x(0,1)时，|ax1|1；若a0，则|ax1|1的解集为，所以1，故0a2.综上，a的取值范围为(0,2
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