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第18讲排列、组合与二项式定理1.(1)2017全国卷安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有 ()A.12种B.18种C.24种D.36种(2)2018全国卷从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)试做命题角度排列组合应用问题关键一:确定完成一件事需要分类还是分步;关键二:在综合应用两个计数原理时,一般先分类再分步;关键三:确定是排列问题还是组合问题.注意题目中是否有特殊条件限制.2.(1)2018全国卷x2+2x5的展开式中x4的系数为()A.10B.20C.40D.80(2)2017全国卷1+1x2(1+x)6展开式中x2的系数为()A.15B.20C.30D.35(3)2015全国卷 (a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.试做命题角度二项式定理解决二项式的有关问题,关键是熟练掌握二项式展开式的正用和逆用.在求特定项时,先准确写出通项公式,再把系数和字母分离出来(特别注意符号),列出方程或不等式求解即可.小题1排列、组合的基本问题1 (1)甲、乙两人都计划在国庆节的七天假期中,到东亚文化之都泉州“二日游”,若他们不同一天出现在泉州,则他们出游的不同方案共有 ()A.16种B.18种C.20种D.24种(2)某校举办了主题为“祖国,你好”的诗歌朗诵比赛,高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的6名学生中选派4名学生参加比赛,且当甲、乙、丙都参加时,甲和乙的朗诵顺序不能相邻,那么不同的朗诵顺序的种数为 ()A.320B.324C.410D.416听课笔记 【考场点拨】排列、组合问题的失分点:(1)分类不能做到“不重不漏”;(2)分步不能做到“步骤完整”,即步与步之间不能做到连续独立;(3)对于既需要“分步”又需要“分类”的综合问题,理不清先后关系;(4)不熟悉一些计数技巧,如:插入法、捆绑法、特殊元素分析法、特殊位置分析法等.【自我检测】1.甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去A,B,C三个不同的社区进行帮扶活动,每人只能去一个社区,每个社区至少一人.若甲必须去A社区,乙不去B社区,则不同的安排方法的种数为 ()A.8B.7C.6D.52.六本不同的书在书架上摆成一排,要求甲、乙两本书必须摆放在两端,丙、丁两本书必须相邻,则不同的摆放方法有()A.24种B.36种C.48种D.60种3.从2个不同的红球、2个不同的黄球和2个不同的蓝球中任取2个,放入颜色分别为红、黄、蓝的三个袋子中,每个袋子中至多放入1个球,且球的颜色与袋子的颜色不同,那么不同的放法有 ()A.42种B.36种C.72种D.46种小题2二项式定理及其应用2 (1)在(1-x)5(2x+1)的展开式中,含x4项的系数为 ()A.-5B.-15C.-25D.25(2)在3x-2xn的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则二项展开式中的常数项为.听课笔记 【考场点拨】(1)对于“多项式乘二项式”型的二项式问题,通用的解法是系数配对法,即将多项式中的每一项xk的系数与后面二项式展开式中xr-k的系数相乘,然后把所有这些满足条件的情况相加,即得到xr项的系数.(2)常失分点:混淆“项的系数”与“二项式系数”概念,项的系数与a,b有关,可正可负,二项式系数只与n有关,恒为正;注意“常数项”“有理项”“系数最大的项”等概念.【自我检测】1.在x+1x-16的展开式中,含x5项的系数为 ()A.6B.-6C.24D.-242.已知(1+x)(a-x)6=a0+a1x+a7x7,若a0+a1+a7=0,则a3= ()A.-5B.-20C.15D.353.在2x+1x26的展开式中,x-3的系数为.4.在x+3xn的展开式中,各项系数的和与二项式系数的和的比值为64,则x3的系数为.模块六概率与统计第18讲排列、组合与二项式定理典型真题研析1.(1)D(2)16解析 (1)把4项工作分成3组,分法为C42种,再分配给3名志愿者,分配方法有A33种,故不同的安排方式共有C42A33=36(种).(2)方法一:分两种情况,即3人中1女2男的选法有C21C42种,3人中2女1男的选法有C22C41种.据分类加法计数原理知,不同的选法共有C21C42+C22C41=16(种).方法二:从6人中任选3人有C63种选法,若3人均为男生有C43种选法,所以至少有1位女生入选的不同选法有C63-C43=16(种).2.(1)C(2)C(3)3解析 (1)二项式的通项为Tr+1=C5r(x2)5-r2xr=2rC5rx10-3r,令10-3r=4,得r=2,所以x4的系数为22C52=40.(2)(1+x)6的展开式中x2的系数为C62,x4的系数为C64,所以1+1x2(1+x)6展开式中x2的系数为C62+C64=30.(3)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项一部分来自第一个因式取a,第二个因式取C41x及C43x3;另一部分来自第一个因式取x,第二个因式取C40x0,C42x2及C44x4.所以系数之和为aC41+aC43+C40+C42+C44=8a+8=32,所以a=3.考点考法探究小题1例1(1)C(2)B解析 (1)任意相邻两天组合在一起,一共有6种情况:,.若甲选或,则乙有4种选择,若甲选或或或,则乙有3种选择,故他们不同一天出现在泉州的出游方案共有24+43=20(种).(2)方法一(直接法):分三种情况,一是甲、乙、丙中只有1人参加,不同的朗诵顺序有C31A44种;二是甲、乙、丙中有2人参加,不同的朗诵顺序有C32C32A44种;三是甲、乙、丙都参加,不同的朗诵顺序有C31A22A32种.综上可知不同的朗诵顺序共有C31A44+C32C32A44+C31A22A32=324(种).方法二(间接法):6名学生中选派4名参加,不同的朗诵顺序共有A64=360(种),当甲、乙、丙都参加且甲、乙朗诵顺序相邻时,不同的朗诵顺序共有C31A22A33=36(种),所以所求的不同的朗诵顺序的种数为360-36=324.【自我检测】1.B解析 据题意,因为乙不去B社区,所以乙有两种去法.若乙去A社区,则丙、丁就去B,C社区,有A22种方法;若乙去C社区,则丙、丁一个去A社区一个去B社区或都去B社区或一个去B社区一个去C社区,有(A22+1+A22)种方法.所以共有A22+A22+1+A22=7(种)方法.2.A解析 第一步:甲、乙两本书必须摆放在两端,有A22种排法;第二步:丙、丁两本书必须相邻,可视为整体与其他两本书全排列,有A22A33种排法.所以不同的摆放方法共有A22A33A22=24(种).3.A解析 分以下两种情况:取出的2个球同色,有3种可能,取出球后只能将2个球放在不同颜色的袋子中,有A22种不同的放法,故不同的放法有3A22=6(种).取出的2个球不同色时,取球的方法数为C32C21C21=12,取球后将2个球放在袋子中的放法有3种,故不同的放法有123=36(种).综上可得不同的放法有42种,故选A.小题2例2(1)B(2)112解析 (1)依题意有C54x4+C53(-x)32x=-15x4,故含x4项的系数为-15,故选B.(2)3x-2xn的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,n=8,展开式的通项为Tr+1=C8r(-2)rx8-4r3,令8-4r3=0,得r=2,故所求常数项为C82(-2)2x0=112.【自我检测】1.B解析 展开式中含x5的项为C65x51x0(-1)1=-6x5,故选B.2.A解析 在(1+x)(a-x)6=a0+a1x+a7x7中,令x=1,得2(a-1)6=a0+a1+a7=0,a=1.(1+x)(a-x)6=(1+x)(1-x)6,又(1-x)6的展开式的通项为Tr+1=C6r(-x)r=(-1)rC6rxr,a3=(-1)3C63+(-1)2C62=-5.故选A.3.160解析 展开式的通项为Tr+1=C6r(2x)6-r1x2r=C6r26-rx6-3r,令6-3r=-3,得r=3,所以x-3的系数为C6323=160.4.135解析 在x+3xn的展开式中,令x=1,得各项系数的和为4n,又展开式的二项式系数的和为2n,4n2n=64,解得n=6.二项式x+3x6的展开式的通项为Tr+1=C6r3rx6-32r,令6-32r=3,得r=2,故展开式中含x3项的系数为C6232=135.备选理由 例1为涉及立体几何图形的染色问题,需要分类分析,容易出现计数的重复与遗漏,要能结合图形掌握分类与分步的标准;例2是一道常见的组合问题,可直接求解或用间接法求解;例3考查二项展开式的赋值法;例4为三项展开式的指定项的系数问题,有难度,要学会转化为两个二项式来处理.例1配例1使用用6种不同的颜色对正四棱锥P-ABCD的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有()A.14 400种B.28 800种C.38 880种D.43 200种解析 C从P点出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色,有A64=360(种)不同的方案,接下来底面4条棱的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数.不使用新的颜色,有2种颜色方案.使用1种新的颜色,分为两类:第一类,染1条棱,有244=32(种)方案;第二类,染2条对棱,有224=16(种)方案.使用2种新的颜色,分为四类:第一类,染2条相邻的棱,有423=24(种)方案;第二类,染2条对棱,有224=16(种)方案;第三类,染3条棱,有422=16(种)方案;第四类,染4条棱,有2种方案.因此不同的染色方案总数为3602+(32+16)+(24+16+16+2)=38 880,故选C.例2配例1使用某医院响应国家精准扶贫号召,准备从3名护士和6名医生中选取5人组成一个医疗小组到扶贫一线工作,要求医疗小组中既有医生又有护士,则不同的选择方案种数是.(用数字作答)答案 120解析 根据题意可知从3名护士和6名医生中选取5人组成一个医疗小组,有C95=126(种)选取方法,其中只有医生的选取方法有C65=6(种),则医疗小组中既有医生又有护士的选取方法有126-6=120(种).例3配例2使用设2x+1x(4x-1)9=bx+a0+a1x+a2x2+a10x10,则a0+a12+a222+a10210=.答案 5解析 由题易知,b=C99(-1)9=-1,令x=12,可得3=2b+a0+a12+a222+a10210,所以a0+a12+a222+a10210=5.例4配例2使用 (2x-1)n的展开式中,二项式系数的和为32,则(2x2+x-1)n的展开式中x3的系数为.答案 -30解析 由(2x-1)n的展开式中,二项式系数的和为32,可得2n=32,解得n=5.(2x2+x-1)5=(x+1)5(2x-1)5,所以(2x2+x-1)5的展开式中,含x3的项为C52x3C55(-1)5+C53x2C542x(-1)4+C54xC53(2x)2(-1)3+C55C52(2x)3(-1)2=-30x3,所以所求系数为-30.
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