2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修.docx

2.2.1直接证明学习目标1.了解直接证明的特点.2.掌握综合法、分析法的思维特点.3.会用综合法、分析法解决问题知识点一直接证明思考阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知a，b0，求证：a(b2c2)b(c2a2)4abc.证明：因为b2c22bc，a0，所以a(b2c2)2abc.又因为c2a22ac，b0，所以b(c2a2)2abc.因此a(b2c2)b(c2a2)4abc.答案利用已知条件a0，b0和基本不等式，最后推导出所要证明的结论梳理(1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明(2)直接证明的一般形式本题结论知识点二分析法和综合法思考阅读证明基本不等式的过程，试分析两种证明过程有何不同特点？已知a，b0，求证：.证明：方法一a，b0，()20，()2()220，ab2，.方法二要证，只需证ab2，只需证ab20，又a，b0，只需证()20，()20显然成立，原不等式成立答案方法一从已知条件出发推出结论；方法二从结论出发，追溯导致结论成立的条件梳理综合法和分析法定义比较直接证明定义推证过程综合法从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法称为综合法分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法称为分析法1综合法是执果索因的逆推证法()2综合法证明的依据是三段论()3综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件()4分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆()类型一综合法的应用例1在ABC中，三边a，b，c成等比数列求证：acos2ccos2b.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明因为a，b，c成等比数列，所以b2ac.因为左边(ac)(acosCccosA)(ac)(ac)bbb右边，所以acos2ccos2b.反思与感悟综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路第三步：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取跟踪训练1已知a，b，c为不全相等的正实数求证：3.考点综合法及应用题点利用综合法解决不等式问题证明因为3，又a，b，c为不全相等的正实数，而2，2，2，且上述三式等号不能同时成立，所以3633，即3.类型二分析法的应用例2已知a，b，c都为正实数，求证：.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明要证，只需证2，只需证3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ca，只需证2(a2b2c2)2ab2bc2ca，只需证(ab)2(bc)2(ca)20，而这是显然成立的，所以成立反思与感悟分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的它的常见书写表达式是“要证只需”或“”跟踪训练2已知非零向量a，b，且ab，求证：.考点分析法及应用题点分析法解决不等式问题证明abab0，要证，只需证|a|b|ab|，只需证|a|22|a|b|b|22(a22abb2)，只需证|a|22|a|b|b|22a22b2，只需证|a|2|b|22|a|b|0，即证(|a|b|)20，上式显然成立，故原不等式得证类型三分析法与综合法的综合应用例3已知ABC中，ABC126.求证：.证明要证，只需证a2abacabb2，即证a(ac)b2.由正弦定理，只需证sinA(sinAsinC)sin2B.ABC126，A，B，C，即sinsin2，即sinsin2，即sin2sincossin2，即2sincossin，显然成立成立反思与感悟综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程跟踪训练3已知a，b，c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogxalogxblogxc.考点分析法和综合法的综合应用题点分析法和综合法的综合应用证明要证logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需证logxlogx(abc)，由已知0xabc，由公式0，0，0.又a，b，c是不全相等的正数，abc.即abc成立logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立.1设alg2lg5，bex (xb解析alg2lg5lg101，bexb.2设0x1，则a，bx1，c中最大的是_答案c解析0x2a，(x1)0，cba.3已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，且a2b2c2ab，则角C的值为_考点综合法及应用题点利用综合法解决三角形问题答案解析cosC，0C，C.4欲证成立，只需证下列各式中的_(填序号)()2()2；()2()2；()2()2；()2b0时，才有a2b2，只需证，即证()222已知x0，y0，且1，则xy的最大值为_答案3解析12，xy3，当且仅当x，y2时等号成立3已知函数f(x)lg，若f(a)b，则f(a)_.答案b解析函数f(x)的定义域为x|1x1，且f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数，f(a)f(a)b.4若P，Q (a0)，则P与Q的大小关系为_答案PQ解析P22a72，Q22a72，P20，Q0，PB是sinAsinB的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案充要解析由正弦定理知2R，又A，B为三角形的内角，sinA0，sinB0，sinAsinB2RsinA2RsinBabAB.6设nN，则_.(填“”“”“”)答案解析要证，只需证，只需证()2()2，即2n522n52.只需证，只需证(n1)(n4)(n2)(n3)，即n25n4n25n6，即46即可而46显然成立，故ab，则实数a，b应满足的条件是_答案a0，b0且ab解析ababaabba()b()(ab)()0()()20，故只需ab，且a，b都不小于零即可9已知函数f(x)2x，a，b(0，)Af，Bf，Cf，且ab，则A，B，C从小到大排列为_答案CB，又f(x)2x在R上为增函数，ABC.10比较大小：设a0，b0，则lg(1)_lg(1a)lg(1b)答案解析(1)2(1a)(1b)2(ab)0，(1)2(1a)(1b)，则lg(1)2lg(1a)(1b)，即lg(1)lg(1a)lg(1b)11在ABC中，C60，a，b，c分别为A，B，C的对边，则_.答案1解析由余弦定理知，c2a2b22abcosC，c2a2b2ab，将式代入式，得1.二、解答题12已知a0，b0且ab1，求证：2.证明要证2，只需证ab24，又ab1，即只需证明1.而1成立，当且仅当ab时等号成立所以2成立13在ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：ABC为等边三角形证明由A，B，C成等差数列，有2BAC.由于A，B，C为ABC的三个内角，所以ABC.由，得B.由a，b，c成等比数列，得b2ac，由余弦定理及，可得b2a2c22accosBa2c2ac，再由，得a2c2acac，即(ac)20，从而ac，所以AC.由，得ABC，所以ABC为等边三角形三、探究与拓展14.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_时，有A1CB1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)答案ACBD(答案不唯一)解析要证A1CB1D1，只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以B1D1CC1，故只需证B1D1A1C1即可即当BDAC时，有A1CB1D1.15设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1n2n，nN*.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.考点综合法及应用题点利用综合法解决数列问题(1)解当n1时，2a1a212，解得a24.(2)解2Snnan1n3n2n，当n2时，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，得2annan1(n1)ann2n，整理，得nan1(n1)ann(n1)，即1，1，当n1时，211.所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n，即ann2.所以数列an的通项公式为ann2，nN*.(3)证明因为(n2)，所以11.