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第1课时等比数列的概念及通项公式学习目标1.通过实例，理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程知识点一等比数列的概念等比数列的概念和特点1文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q0)2递推公式形式的定义：q(n2).3等比数列各项均不能为0.知识点二等比中项的概念等比中项与等差中项的异同，对比如下表：对比项等差中项等比中项定义若x，A，y成等差数列，则A叫做x与y的等差中项若x，G，y成等比数列，则G叫做x与y的等比中项定义式AxyA公式AG个数x与y的等差中项唯一x与y的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数x与y都有等差中项只有当xy0时，x与y才有等比中项知识点三等比数列的通项公式若等比数列an的首项为a1，公比为q，则ana1qn1(nN)1若an1qan，nN，且q0，则an是等比数列()2任何两个数都有等比中项()3等比数列1，中，第10项为.()4常数列既是等差数列，又是等比数列()题型一等比数列的判定命题角度1已知数列前若干项判断是否为等比数列例1判断下列数列是否为等比数列(1)1,3,32,33，3n-1，；(2)1,1,2,4,8，；(3)a1，a2，a3，an，.解(1)记数列为an，显然a11，a23，an3n-1，.3(n2，nN)，数列为等比数列，且公比为3.(2)记数列为an，显然a11，a21，a32，12，此数列不是等比数列(3)当a0时，数列为0,0,0，是常数列，不是等比数列；当a0时，数列为a1，a2，a3，a4，an，显然此数列为等比数列，且公比为a.反思感悟判定等比数列，要抓住3个要点：从第二项起要判定每一项，不能有例外每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0.跟踪训练1下列各组数成等比数列的是()1，2,4，8；，2，2，4；x，x2，x3，x4；a1，a2，a3，a4.ABCD答案C解析显然是等比数列；由于x可能为0，不是；a不能为0，符合等比数列定义，故是命题角度2已知递推公式判断是否为等比数列例2已知数列an满足a11，an12an1.(1)证明：数列an1是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明an12an1，an112(an1)由a11，知a110，从而an10.2(nN)数列an1是等比数列(2)解由(1)知an1是以a112为首项，2为公比的等比数列an122n12n.即an2n1.反思感悟等比数列的判定方法(1)定义法：q(n2，q是不为0的常数)an是公比为q的等比数列(2)等比中项法：aan1an1(n2，an，an1，an1均不为0)an是等比数列跟踪训练2数列an满足a11，且an3an12n3(n2,3，)(1)求a2，a3，并证明数列ann是等比数列；(2)求数列an的通项公式解(1)a23a12234，a33a223315.3(n1,2,3，)又a112，数列ann是以2为首项，3为公比的等比数列(2)由(1)知ann23n-1，ann23n-1.题型二等比数列基本量的计算例3在等比数列an中(1)已知a24，a5，求an；(2)已知a3a636，a4a718，an，求n.解(1)设等比数列的公比为q，则解得ana1qn-1(8)n-1n-4.(2)设等比数列an的公比为q.a4a7a3qa6q(a3a6)q，q.a4a718，a4(1q3)18.a416，ana4qn-416n-4.由16n-4，得n45，n9.反思感悟已知等比数列an的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程，从而解出a1和q，再求其他项或通项跟踪训练3在等比数列an中：(1)已知a13，q2，求a6；(2)已知a320，a6160，求an.解(1)由等比数列的通项公式得a63(2)6-196.(2)设等比数列的公比为q，那么解得所以ana1qn-152n-1，nN.方程的思想在等比数列中的应用典例1有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数解方法一设这四个数依次为ad，a，ad，由条件得解得或所以当a4，d4时，所求的四个数为0，4，8，16；当a9，d6时，所求的四个数为15，9，3，1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.方法二设这四个数依次为a，a，aq(q0)，由条件得解得或当a8，q2时，所求的四个数为0,4,8,16；当a3，q时，所求的四个数为15,9,3,1.故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.典例2设四个实数依次成等比数列，其积为210，中间两项的和是4，则这四个数为多少？解设这四个数依次为，a，aq，aq2(q0)，根据题意得解得q2或，当q2时，a4，所求四个数依次为2，4，8，16.当q时，a8，所求四个数依次为16，8，4，2，综上，这四个数依次为2，4，8，16或16，8，4，2.素养评析(1)解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：若三个数成等比数列，可设三个数为，a，aq或a，aq，aq2(q0)若四个数成等比数列，可设为，a，aq，aq2或，aq，aq3(q0)(2)像本例，明确运算对象，选择运算方法，求得运算结果充分体现数学运算的数学核心素养.1若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为()A4B8C6D32答案C解析由等比数列的通项公式得，12842n-1，2n-132，所以n6.2已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a7等于()A64B81C128D243答案A解析an为等比数列，q2.又a1a23，a11，故a712664.3设a12，数列12an是公比为3的等比数列，则a6等于()A607.5B608C607D159答案C解析12an(12a1)3n-1，12a6535，a6607.4等比数列x,3x3,6x6，的第4项等于()A24B0C12D24答案A解析由题意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比数列的前3项是3，6，12，则第4项为24.545和80的等比中项为_答案60或60解析设45和80的等比中项为G，则G24580，G60.6一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项解设这个等比数列的第1项是a1，公比是q，那么，得q，将q代入，得a1.因此，a2a1q8.综上，这个数列的第1项与第2项分别是与8.1等比数列的判断或证明(1)利用定义：q(与n无关的常数)(2)利用等比中项：aanan2(nN，且数列各项均不为零)2两个同号的实数a，b才有等比中项，而且它们的等比中项有两个()，而不是一个()，这是容易忽视的地方3等比数列的通项公式ana1qn1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量.一、选择题12和2的等比中项是()A1B1C1D2答案C解析设2和2的等比中项为G，则G2(2)(2)1，G1.2(2018四川广安中学高一月考)有下列四个说法：等比数列中的某一项可以为0；等比数列中公比的取值范围是(，)；若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；若b2ac，则a，b，c成等比数列其中正确说法的个数为()A0B1C2D3答案B解析只有正确3公比为2的等比数列an的各项都是正数，且a2a1216，则a5等于()A1B2C4D8答案A解析a2a12a1qa1q11aq12a21216，a2-8，又an0，a12-4，a5a1q42-4241.4在等比数列an中，an0，且a1a21，a3a49，则a4a5的值为()A16B27C36D81答案B解析a1a21，a3a49，q29.q3(q3舍去)，a4a5(a3a4)q27.5已知a，b，cR，如果1，a，b，c，9成等比数列，那么()Ab3，ac9Bb3，ac9Cb3，ac9Db3，ac9答案B解析b2(1)(9)9且b与首项1同号，b3，且a，c必同号acb29.6在等比数列an中，a11，公比|q|1.若ama1a2a3a4a5，则m等于()A9B10C11D12答案C解析在等比数列an中，a11，ama1a2a3a4a5aq10q10.ama1qm-1qm-1，m110，m11.7已知a，b，c，d成等比数列，且曲线yx22x3的顶点是(b，c)，则ad等于()A3B2C1D2答案B解析y(x1)22，b1，c2.又a，b，c，d成等比数列，adbc2.二、填空题8在等比数列an中，若a33，a10384，则公比q_.答案2解析a3a1q23，a10a1q9384，两式相除得，q7128，所以q2.9在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为_答案80,40,20,10解析设这6个数所成等比数列的公比为q，则5160q5，q5，q.这4个数依次为80,40,20,10.10数列an是等差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.答案1解析设等差数列的公差为d，则a3a12d，a5a14d，(a12d3)2(a11)(a14d5)，解得d1，q1.11在九章算术中“衰分”是按比例递减分配的意思今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为_答案解析设衰分比例为q，则甲、乙、丙各分得，28,28q石，2828q98，q2或.又0q1，q.三、解答题12已知数列an的前n项和Sn2an1，求证：an是等比数列，并求出通项公式解Sn2an1，Sn12an11.an1Sn1Sn(2an11)(2an1)2an12an.an12an，又S12a11a1，a110，又由an12an知an0，2，an是首项为1，公比为2的等比数列an12n12n1.13已知各项都为正数的数列an满足a11，a(2an11)an2an10.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解(1)由题意可得a2，a3.(2)由a(2an11)an2an10，得2an1(an1)an(an1)因为an的各项都为正数，所以.故an是首项为1，公比为的等比数列，因此an，nN.14如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i，jN)，则a53的值为()A.B.C.D.答案C解析第一列构成首项为，公差为的等差数列，所以a51(51).又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为，公比为的等比数列，所以a532.15在各项均为负数的数列an中，已知2an3an1，且a2a5.(1)求证：an是等比数列，并求出其通项公式；(2)试问是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由解(1)2an3an1，.又数列an的各项均为负数，a10，数列an是以为公比的等比数列ana1qn-1a1n-1，a2a12-1a1，a5a15-1a1，又a2a5a1a1，a.又a10，a1.ann-1n-2(nN)(2)令ann-2，则n24，n6N，是这个等比数列中的项，且是第6项
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