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课时作业(三十六)第36讲基本不等式时间 /30分钟分值 /80分基础热身1.已知a,b(0,+),且a+b=1,则ab的最大值为()A.1B.14C.12D.222.设x0,y0,且x+y=3,则2x+2y的最小值是()A.8B.6C.32D.423.已知a,bR,且ab0,则下列结论恒成立的是()A.a+b2abB.ab+ba2C.ab+ba2D.a2+b22ab4.2018河南平顶山一模 若对于任意的x0,不等式xx2+3x+1a恒成立,则实数a的取值范围为()A.15,+B.15,+C.-,15D.-,155.2018北京朝阳区二模 已知x0,y0,且满足x+y=4,则lgx+lgy的最大值为.能力提升6.已知向量a=(1,x2),b=(-2,y2-2),若a,b共线,则xy的最大值为()A.22B.1C.2D.227.2018广西南宁二中月考 已知x0,y0,lg2x+lg8y=lg2,则1x+13y的最小值是()A.4B.3C.2D.18.设a0,b2,且a+b=3,则2a+1b-2的最小值是()A.6B.22C.42D.3+229.2018东北三省四市教研联合体模拟 在首项与公比相等的等比数列an中,aman2=a42(m,nN*),则2m+1n的最小值为()A.1B.32C.2D.92图K36-110.几何原本第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图K36-1所示的图形,点F在半圆O上,点C在半径OB上,且OFAB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为()A.a+b2ab(a0,b0)B.a2+b22ab(a0,b0)C.2aba+bab(a0,b0)D.a+b2a2+b22(a0,b0)11.已知x0,y0,且2x4y=4,则xy的最大值为.12.若ab0,则a2+14b(a-b)的最小值是.13.2018天津和平区二模 已知ab0,a+b=3,则b2a+2+a2b+1的最小值为.14.2018河北保定一模 已知实数x,y满足2x-y-20,x+2y+20,x-y0,若z=3x-2y取得最小值时的最优解(x,y)满足ax+by=2(ab0),则a+4bab的最小值为.难点突破15.(5分)某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为400平方米的三级污水处理池,如图K36-2所示,池外圈造价为每米200元,中间两条隔墙造价为每米250元,池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).若使污水池的总造价最低,则污水池的长和宽分别为()图K36-2A.40米,10米B.20米,20米C.30米,403 米D.50米,8米16.(5分)2018天津重点中学联考 已知a,bR,且a是2-b与-3b的等差中项,则4ab2|a|+|b|的最大值为.课时作业(三十六)1.B解析 因为a,b(0,+),所以1=a+b2ab,所以ab14,当且仅当a=b=12时等号成立.2.D解析 因为x0,y0,且x+y=3,所以2x+2y22x2y=22x+y=223=42,当且仅当x=y=32时,2x+2y取得最小值42.3.C解析 因为ab和ba同号,所以ab+ba=ab+ba2,当且仅当|a|=|b|时等号成立.4.A解析 由x0,得xx2+3x+1=1x+1x+312x1x+3=15,当且仅当x=1时等号成立,则a15.5.2lg2解析 因为x+y=4,x0,y0,所以xyx+y22=4,当且仅当x=y=2时等号成立,因此lgx+lgy=lgxylg4=2lg2.6.A解析 依题意得2x2+y2=2,因此2=2x2+y222xy,从而-22xy22,故选A.7.A解析 因为x0,y0,且lg2x+lg8y=lg2x+3y=lg2,所以x+3y=1,则1x+13y=x+3yx+x+3y3y=2+3yx+x3y2+23yxx3y=4当且仅当3yx=x3y,即x=3y=12时取等号.故选A.8.D解析a0,b2,且a+b=3,a+b-2=1,2a+1b-2=2a+1b-2(a+b-2)=2+1+2(b-2)a+ab-23+22,当且仅当a=2(b-2),即b=1+2,a=2-2时取等号,则2a+1b-2的最小值是3+22,故选D.9.A解析 设等比数列an的公比为q,由题意可得a1=q,aman2=a42,a1qm-1(a1qn-1)2=(a1q3)2,即qmq2n=q8,因此m+2n=8.2m+1n=(m+2n)2m+1n18=2+mn+4nm+218(4+4)18=1,当且仅当m=2n=4时取等号,故选A.10.D解析 由图可知OF=12AB=a+b2,OC=a-b2.在RtOCF中,由勾股定理可得CF=a+b22+a-b22=a2+b22.CFOF,a2+b22a+b2(a0,b0).故选D.11.12解析x0,y0,且2x4y=4,2x4y=2x+2y=22,x+2y=2,xy=12x2y12x+2y22=12,当且仅当x=1,y=12时取等号,xy的最大值为12.12.2解析ab0,a2+14b(a-b)a2+1(b+a-b)2=a2+1a22a21a2=2,当且仅当a=1,b=12时取等号,故所求最小值为2.13.32解析ab0,a+b=3,a+2+b+1=6.则b2a+2+a2b+1=16(a+2)+(b+1)b2a+2+a2b+1=16a2+b2+b2(b+1)a+2+a2(a+2)b+116(a2+b2+2ab)=16(a+b)2=32,当且仅当b(b+1)=a(a+2),即b=53,a=43时取等号.14.9解析 作出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当直线z=3x-2y经过点A(2,2)时,z取得最小值,此时最优解为(2,2),则2a+2b=2,即a+b=1,a+4bab=1b+4a=1b+4a(a+b)=5+ab+4ba5+2ab4ba=9,当且仅当a=2b时取等号,则a+4bab的最小值为9.15.C解析 设总造价为y元,污水池的长为x米,则宽为400x 米,总造价y=2x+2400x200+2250400x+80400=400x+900x+320004002x900x+32000=56000(元),当且仅当x=900x,即x=30时等号成立,此时污水池的宽为403 米.16.49解析a是2-b与-3b的等差中项,2a=2-b-3b,可得a+2b=1.当ab0时,4ab2|a|+|b|0时,4ab2|a|+|b|0,要使4ab2|a|+|b|有最大值,则ab0.不妨设a0,b0(a0,b0时情况一样),则4ab2|a|+|b|=4ab2a+b=1(12b+14a)(a+2b)=154+a2b+b2a154+2a2bb2a=154+1=49,当且仅当a2b=b2a,即a=b=13时等号成立,故4ab2|a|+|b|的最大值为49.
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