资源描述
第二讲 讲明不等式的基本方法复习课学习目标1.系统梳理证明不等式的基本方法.2.进一步体会不同方法所适合的不同类型的问题，针对不同类型的问题，合理选用不同的方法.3.进一步熟练掌握不同方法的解题步骤及规范1比较法作差比较法是证明不等式的基本方法，其依据是：不等式的意义及实数大小比较的充要条件证明的步骤大致是：作差恒等变形判断结果的符号2综合法综合法证明不等式的依据是：已知的不等式以及逻辑推理的基本理论证明时要注意的是作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同，应用时要先考虑是否具备应有的条件，避免错误，如一些带等号的不等式，应用时要清楚取等号的条件，即对重要不等式中“当且仅当时，取等号”的理由要理解掌握3分析法分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论分析法证明不等式的思维方向是“逆推”，即从待证的不等式出发，逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因)，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式一般来说，对于较复杂的不等式，直接用综合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法可结合使用4反证法反证法是一种“正难则反”的方法，反证法适用的范围：直接证明困难；需要分成很多类进行讨论；“唯一性”“存在性”的命题；结论中含有“至少”“至多”否定性词语的命题5放缩法放缩法就是将不等式的一边放大或缩小，寻找一个中间量，常用的放缩技巧有：舍掉(或加进)一些项；在分式中放大或缩小分子或分母；用基本不等式放缩.类型一比较法证明不等式例1若x，y，zR，a0，b0，c0.求证：x2y2z22(xyyzzx)证明x2y2z22(xyyzzx)2220，x2y2z22(xyyzzx)成立反思与感悟作差法证明不等式的关键是变形，变形是证明推理中一个承上启下的关键，变形的目的在于判断差的符号，而不是考虑能否化简或值是多少，变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法跟踪训练1设a，b为实数，0n1,0m1，mn1，求证：(ab)2.证明(ab)20，(ab)2.类型二综合法与分析法证明不等式例2已知a，b，cR，且abbcca1，求证：(1)abc；(2)()证明(1)要证abc，由于a，b，cR，因此只需证(abc)23，即证a2b2c22(abbcca)3，根据条件，只需证a2b2c21abbcca，由abbccaa2b2c2(当且仅当abc时取等号)可知，原不等式成立(2)，在(1)中已证abc，abbcca1，要证原不等式成立，只需证，即证abc1abbcca.a，b，cR，a，b，c，abcabbcca(abc时取等号)成立，原不等式成立反思与感悟证明比较复杂的不等式时，考虑分析法与综合法的结合使用，这样使解题过程更加简洁跟踪训练2已知abc，求证：0.证明方法一要证0，只需证.abc，acab0，bc0，0，成立，0成立方法二abc，acab0，bc0，0，0.类型三反证法证明不等式例3若x，y都是正实数，且xy2，求证：2或2中至少有一个成立证明假设2和0且y0，所以1x2y且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，所以xy2.这与已知xy2矛盾故2或2中至少有一个成立反思与感悟反证法的“三步曲”：(1)否定结论(2)推出矛盾(3)肯定结论其核心是在否定结论的前提下推出矛盾跟踪训练3已知函数yf(x)在R上是增函数，且f(a)f(b)f(b)f(a)，求证：ab.证明假设ab不成立，则ab或ab.当ab时，ab，则有f(a)f(b)，f(a)f(b)，于是f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾当ab时，ab，由函数yf(x)的单调性，可得f(a)f(b)，f(b)f(a)，于是有f(a)f(b)f(b)f(a)与已知矛盾故假设不成立ab.类型四放缩法证明不等式例4已知nN，求证：2(1)12.证明对kN，1kn，有2()，2()12(1)2()2()2(1)又对于kN，2kn，有2()，112(1)2()2()212.原不等式成立反思与感悟放缩法是在顺推法逻辑推理过程中，有时利用不等式关系的传递性作适当的放大或缩小，证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法放缩法的实质是非等价转化，放缩没有一定的准则和程序，需按题意适当放缩，否则达不到目的跟踪训练4设f(x)x2x13，a，b0,1，求证：|f(a)f(b)|ab|.证明|f(a)f(b)|a2ab2b|(ab)(ab1)|ab|ab1|，0a1,0b1，0ab2，1ab11，|ab1|1.|f(a)f(b)|ab|.1已知p: ab0，q：2，则p与q的关系是()Ap是q的充分不必要条件Bp是q的必要不充分条件Cp是q的充要条件D以上答案都不对答案C解析由ab0，得0，0，22，又2，则，必为正数，ab0.2实数a，b，c满足a2bc2，则()Aa，b，c都是正数Ba，b，c都大于1Ca，b，c都小于2Da，b，c中至少有一个不小于答案D解析假设a，b，c都小于，则a2bc2与a2bc2矛盾3若a，b，c，则()AabcBcbaCcabDbac答案C解析a，b，98，ba.b与c比较：b，c，3553，bc.a与c比较：a，c，3225，ac.bac，故选C.4已知a，bR，nN，求证：(ab)(anbn)2(an1bn1)证明(ab)(anbn)2(an1bn1)an1abnbanbn12an12bn1a(bnan)b(anbn)(ab)(bnan)(1)若ab0，则bnan0，ab0，(ab)(bnan)0.(2)若ba0，则bnan0，ab0，(ab)(bnan)0.(3)若ab0，(bnan)(ab)0.综上(1)(2)(3)可知，对于a，bR，nN，都有(ab)(anbn)2(an1bn1)1比较法证明不等式一般有两种方法：作差法和作商法，作商法应用的前提条件是已知不等式两端的代数式同号2由教材内容可知，分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，而综合法是“由因导果”，两者是对立统一的两种方法3证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养一、选择题1a，bR，那么下列不等式中不正确的是()A.2B.abC.D.答案C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(ab)2(ab)0正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确2设0x1，则a，bx1，c中最大的是()AcBbCaD随x取值不同而不同答案A解析0x2a，(x1)0，cba.3若P，Q (a0)，则P与Q的大小关系为()APQBPQCPQD由a的取值确定答案C解析P22a72，Q22a72，P2Q2，即PB是sinAsinB的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案C解析由正弦定理知2R，又A，B为三角形的内角，sinA0，sinB0，sinAsinB2RsinA2RsinBabAB.二、填空题7lg9lg11与1的大小关系是_答案lg9lg111解析lg90，lg110，1.lg9lg111.8当x1时，x3与x2x1的大小关系是_答案x3x2x1解析x3(x2x1)x3x2x1x2(x1)(x1)(x1)(x21)，且x1，(x1)(x21)0.x3(x2x1)0，即x3x2x1.9用反证法证明“在ABC中，若A是直角，则B是锐角”时，应假设_答案B不是锐角解析“B是锐角”的否定是“B不是锐角”10建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为_元答案1760解析设水池底长为x(x0)m，则宽为(m)水池造价y120804803204801 2801 760(元)，当且仅当x2时取等号三、解答题11求证：2.证明因为(nN，n2)，所以1122.所以原不等式得证12已知an(nN)，求证：an.证明n，an12n.又，an.an.四、探究与拓展13已知a，b是正数，ab，x，y(0，)，若，则等号成立的条件为_答案aybx解析0，当且仅当aybx时等号成立14设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，且Sn满足S(n2n3)Sn3(n2n)0，nN.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解令n1，得S(1)S1320，即SS160，所以(S13)(S12)0，因为S10，所以S12，即a12.(2)解由S(n2n3)Sn3(n2n)0，得(Sn3)Sn(n2n)0，因为an0(nN)，Sn0，从而Sn30，所以Snn2n，所以当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n，又a1221，所以an2n(nN)(3)证明设k2，则，所以.所以.
展开阅读全文