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第三章 数系的扩充与复数的引入滚动训练三(3.13.2)一、选择题1欧拉公式eixcos xisin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析e2icos 2isin 2，由于2，因此cos 20，点(cos 2，sin 2)在第二象限，故选B.2若|z1|z1|，则复数z对应的点在()A实轴上 B虚轴上C第一象限 D第二象限考点复数的几何意义题点复数与点的对应关系答案B解析|z1|z1|，点Z到(1,0)和(1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(1,0)为端点的线段的中垂线上3已知i是虚数单位，a，bR，则“ab1”是“(abi)22i”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案A解析当“ab1”时，“(abi)2(1i)22i”成立，故“ab1”是“(abi)22i”的充分条件；当“(abi)2a2b22abi2i”时，“ab1”或“ab1”，故“ab1”是“(abi)22i”的不必要条件；综上所述，“ab1”是“(abi)22i”的充分不必要条件4设复数z，则z等于()A1 B.C2 D4考点复数四则运算的综合应用题点复数的混合运算答案C解析z1i，1i，z(1i)(1i)2.5若复数z满足z(i1)，则复数z的虚部为()A1 B0Ci D1考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案B解析z(i1)，z1，z的虚部为0.6已知复数z1ai(aR)(i是虚数单位)，i，则a等于()A2 B2C2 D考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案B解析由题意可得i，即ii，a2，故选B.7设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A若|z1z2|0，则12B若z12，则1z2C若|z1|z2|，则z11z22D若|z1|z2|，则zz考点共轭复数的定义及应用题点与共轭复数有关的综合问题答案D解析对于A，若|z1z2|0，则z1z20，z1z2，所以12为真；对于B，若z12，则z1和z2互为共轭复数，所以1z2为真；对于C，设z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R)，若|z1|z2|，则，z11ab，z22ab，所以z11z22为真；对于D，若z11，z2i，则|z1|z2|为真，而z1，z1，所以zz为假故选D.二、填空题8已知z是纯虚数，是实数，那么z_.考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案2i解析设zbi(bR，b0)，则i是实数，所以b20，b2，所以z2i.9复数z满足(34i)z510i，则|z|_.考点复数的模的定义与应用题点利用定义求复数的模答案解析由(34i)z510i知，|34i|z|510i|，即5|z|5，解得|z|.10设复数z1i，z2，zz1z2，则z在复平面内对应的点位于第_象限考点复数四则运算的综合应用题点与混合运算有关的几何意义答案一解析z2i，z1i，则zz1z2iii.z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限11已知复数z(2ai)(1bi)的实部为2，i是虚数单位，其中a，b为正实数，则4a1b的最小值为_考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数中的未知数答案2解析复数z(2ai)(1bi)2ab(12ab)i的实部为2，其中a，b为正实数，2ab2，b22a.则4a1b4a212a4a22，当且仅当a，b时取等号三、解答题12计算：(1)；(2)；(3)；(4).考点复数四则运算的综合运算题点复数的混合运算解(1)13i.(2)i.(3)1.(4)i.13复数z满足|z3i|，求|z|的最大值和最小值考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积解方法一|z3i|z|3i|，又|z3i|，|3i|2，|z|2|，即|z|3，|z|的最大值为3，最小值为.方法二|z3i|表示以3i对应的点P为圆心，以为半径的圆，如图所示，则|OP|3i|2，显然|z|max|OA|OP|3，|z|min|OB|OP|.四、探究与拓展14设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A. B.C. D.考点复数的几何意义的综合应用题点利用几何意义解决距离、角、面积答案C解析复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，它的几何意义是以(1,0)为圆心，1为半径的圆以及内部部分yx的图形是图形中阴影部分，如图，复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为.15设z是虚数，wz是实数，且1w2，求|z|的值及z的实部的取值范围解z是虚数，可设zxyi(x，yR且y0)，则wzxyixyii.w是实数且y0，y0，即x2y21，|z|1，此时w2x.由1w2，得12x2，x1，即z的实部的取值范围是.
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