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考点规范练10幂函数与二次函数一、基础巩固1.(2018贵州适应性考试)幂函数y=f(x)的图象经过点(3,3),则f(x)是()A.偶函数,且在(0,+)上是增函数B.偶函数,且在(0,+)上是减函数C.奇函数,且在(0,+)上是减函数D.非奇非偶函数,且在(0,+)上是增函数答案D解析设幂函数f(x)=xa,则f(3)=3a=3,解得a=12,则f(x)=x12=x,是非奇非偶函数,且在(0,+)上是增函数.2.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x0),g(x)=logax的图象可能是()答案D解析由于本题中函数为y=xa(x0)与y=logax,对于选项A,没有幂函数图象,故错误;对于选项B,由y=xa(x0)的图象知a1,而由y=logax的图象知0a0)的图象知0a1,故C错误;对于选项D,由y=xa(x0)的图象知0a1,而由y=logax的图象知0a0时,x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,可知x=3;当x0时,x2+x-6=0,解得x=2或x=-3,可知x=-3;故f(x)的零点个数为2.故选B.5.若a0,则0.5a,5a,5-a的大小关系是()A.5-a5a0.5aB.5a0.5a5-aC.0.5a5-a5aD.5a5-a0.5a答案B解析5-a=15a.因为a0,所以函数y=xa在(0,+)内单调递减.又150.55,所以5a0.5a5-a.6.已知f(x)=x3,若当x1,2时,f(x2-ax)+f(1-x)0,则a的取值范围是()A.a1B.a1C.a32D.a32答案C解析f(x)在(-,+)内为奇函数且单调递增.由f(x2-ax)+f(1-x)0,得f(x2-ax)f(x-1),x2-axx-1,即x2-(a+1)x+10.设g(x)=x2-(a+1)x+1,则有g(1)=1-a0,g(2)=3-2a0,解得a32.故选C.7.设-2,-1,-12,12,1,2,则使f(x)=x为奇函数,且在区间(0,+)内单调递减的的值的个数是()A.1B.2C.3D.4答案A解析由f(x)=x在区间(0,+)内单调递减,可知0.又因为f(x)=x为奇函数,所以只能取-1.8.若关于x的不等式x2+ax+10对于一切x0,12恒成立,则a的最小值是()A.0B.2C.-52D.-3答案C解析由x2+ax+10得a-x+1x在x0,12上恒成立.令g(x)=-x+1x,则g(x)在0,12上为增函数,所以g(x)max=g12=-52,所以a-52.9.已知二次函数f(x)的图象过点(0,1),对称轴为x=2,最小值为-1,则它的解析式为.答案f(x)=12(x-2)2-1解析依题意可设f(x)=a(x-2)2-1.函数图象过点(0,1),4a-1=1.a=12.f(x)=12(x-2)2-1.10.当x(0,+)时,幂函数y=(m2-m-1)x-5m-3为减函数,则实数m的值为.答案2解析因为函数y=(m2-m-1)x-5m-3既是幂函数,又是(0,+)上的减函数,所以m2-m-1=1,-5m-30,解得m=2.11.已知x0,y0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.答案12,1解析x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x+1,x0,1,所以当x=0或1时,x2+y2取最大值1;当x=12时,x2+y2取最小值12.因此x2+y2的取值范围为12,1.12.已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)0),f(x)是定义在(0,+)内的减函数.又f(a+1)0,10-2a0,a+110-2a,解得a-1,a3,3a0),若f(m)0D.f(m+1)0,f(x)的大致图象如图所示.由f(m)0,得-1m0,f(m+1)f(0)0.14.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论:b24ac;2a-b=1;a-b+c=0;5a0,即b24ac,正确.对称轴为x=-1,即-b2a=-1,2a-b=0,错误.结合图象,当x=-1时,y0,即a-b+c0,错误.由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a0,所以5a2a,即5a0的解集是实数集R;乙:0a0,符合ax2+2ax+10的解集是实数集R;当a0时,由ax2+2ax+10的解集是R可知=4a2-4a0,解得0a1;故0a1,故甲是乙成立的必要不充分条件.
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