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课时规范练27数列的概念与表示基础巩固组1.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是()A.1,12,13,14,B.-1,-2,-3,-4,C.-1,-,-,-,D.1,2,3,n2.数列1,23,35,47,59,的一个通项公式an=()A.n2n+1B.n2n-1C.n2n-3D.n2n+33.已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=2an-4(nN+),则an=()A.2n+1B.2nC.2n-1D.2n-24.已知数列an满足a1+a2+an=2a2(n=1,2,3,),则()A.a10C.a1a2D.a2=05.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,Sn=n+12an(nN+),则S10为()A.50B.55C.100D.1106.已知数列an的首项a1=1,其前n项和Sn=n2an(nN+),则a9=()A.136B.145C.155D.1667.在数列an中,a1=1,Sn=n+23an,则an=.8.数列an的前n项和为Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,nN+,则S5=.9.在数列an中,a1=0,an+1=3+an1-3an,则S2 019=.10.数列an的通项公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,则数列中有多少项是负数?n为何值时,an有最小值?并求出最小值.(2)对于nN+,都有an+1an.求实数k的取值范围.综合提升组11.在数列an中,若a1=2,且对任意正整数m,k,总有am+k=am+ak,则an的前n项和为Sn=()A.n(3n-1)B.n(n+3)2C.n(n+1)D.n(3n+1)212.给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,则这个数列的一个通项公式是()A.an=2n2+3n-1B.an=n2+5n-5C.an=2n3-3n2+3n-1D.an=2n3-n2+n-213.已知数列an的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2 018=()A.22 018-1B.32 018-6C. 2 018-D. 2 018-10314.在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列an是等和数列,且a1=2,公和为5,那么a18=.15.已知数列an的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an=.创新应用组16.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,.该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列an称为“斐波那契数列”,则(a1a3-a22)(a2a4-a32)(a3a5-a42)(a2 015a2 017-a2 0162)=()A.1B.-1C.2 017D.-2 01717.(2018衡水中学二调,10)数列an满足a1=,an+1-1=an(an-1)(nN+),且Sn=1a1+1a2+1an,则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合是()A.0,1,2B.0,1,2,3C.1,2D.0,2课时规范练27数列的概念与表示1.CA项中,数列1,12,13,14,是递减数列,不符合题意;B项中,数列-1,-2,-3,-4,是递减数列,不符合题意;C项中,数列-1,-,-,-,是递增数列又是无穷数列,符合题意;D项中,数列1,2,3,n是有穷数列,不符合题意,故选C.2.B由已知得,数列可写成11,23,35,故通项为n2n-1.3.A当n2时,由Sn=2an-4,得Sn-1=2an-1-4,两式相减得an=2an-2an-1,an=2an-1.因此数列an为公比为2的等比数列,又a1=S1=2a1-4,则a1=4,所以an=42n-1=2n+1.4.D根据条件Sn=a1+a2+a3+an=2a2,Sn-1=a1+a2+a3+an-1=2a2,故两式做差得an=0,故数列的每一项都为0,故选D.5.D依题意Sn=n+12(Sn-Sn-1),化简得SnSn-1=n+1n-1,故S10=S10S9S9S8S2S1S1=1191089742312=110.6.B由Sn=n2an,得Sn+1=(n+1)2an+1,所以an+1=(n+1)2an+1-n2an,化简得(n+2)an+1=nan,即an+1an=nn+2,所以a9=a9a8a8a7a2a1a1=810796824131=290=145.7.n(n+1)2由题设知,a1=1.当n2时,an=Sn-Sn-1=n+23an-n+13an-1.anan-1=n+1n-1,an-1an-2=nn-2,a4a3=53,a3a2=42,a2a1=3.以上(n-1)个式子的等号两端分别相乘,得ana1=n(n+1)2.a1=1,an=n(n+1)2.8.121由于a1+a2=4,a2=2a1+1,解得a1=1.由an+1=Sn+1-Sn=2Sn+1,得Sn+1=3Sn+1,所以Sn+1+12=3Sn+12,所以Sn+12是以32为首项,3为公比的等比数列,所以Sn+12=323n-1,即Sn=3n-12,所以S5=121.9.0a1=0,an+1=3+an1-3an,a2=31=3,a3=3+31-33=23-2=-3,a4=3-31+33=0,即数列an的取值具有周期性,周期为3,且a1+a2+a3=0,则S2 019=S3673=0.10.解 (1)由n2-5n+40,解得1nan知该数列是一个递增数列,又an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到nN+,所以-k2-3.11.C递推关系am+k=am+ak中,令k=1,得am+1=am+a1=am+2,即am+1-am=2恒成立,据此可知,该数列是一个首项a1=2,公差d=2的等差数列,其前n项和为Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n(n-1)22=n(n+1).12.C当n=1时,a1=1,代入四个选项,排除A、D;当n=2时,a2=9,代入B、C选项,B、C都正确;当n=3时,a3=35,代入B、C选项,B错误,C正确,所以选C.13.A由题意可得3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3(n+1),两式作差可得3an+1=2an+1-2an-3,即an+1=-2an-3,则an+1+1=-2(an+1),结合3S1=2a1-3=3a1可得a1=-3,a1+1=-2,则数列an+1是首项为-2,公比为-2的等比数列,据此有a2 018+1=(-2)(-2)2 017=22 018,a2 018=22 018-1.故选A.14.3由题意得an+an+1=5an+2+an+1=5an=an+2,所以a18=a2=5-a1=3.15.2n-1当n2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即an=2an-1+1,an+1=2(an-1+1).又a1=S1=2a1-1,a1=1.数列an+1是以首项为a1+1=2,公比为2的等比数列,an+1=22n-1=2n,an=2n-1.16.Ba1a3-a22=12-12=1,a2a4-a32=13-22=-1,a3a5-a42=25-32=1,a2 015a2 017-a2 0162=1.(a1a3-a22)(a2a4-a32)(a3a5-a42)(a2 015a2 017-a2 0162)=11 008(-1)1 007=-1.17.A对an+1-1=an(an-1)两边取倒数,得1an-1-1an+1-1=1an,Sn=1a1+1a2+1an=1a1-1-1a2-1+1a2-1-1a3-1+1an-1-1an+1-1=3-1an+1-1,由an+1-an=(an-1)20,an+1an,an为递增数列,a1=43,a2=139,a3=13381,其中S1=1a1,整数部分为0,S2=3-94=34,整数部分为0,S3=7552,整数部分为1,由于Sn3,故选A.
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