2018-2019版高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 一 数学归纳法学案 新人教A版选修4-5.docx

一数学归纳法学习目标1.了解数学归纳法的基本原理.2.了解数学归纳法的应用范围.3.会用数学归纳法证明一些简单问题知识点数学归纳法在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下思考1试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？答案第一辆自行车倒下；任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下思考2由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？答案适合解决一些与正整数n有关的问题梳理数学归纳法的概念及步骤(1)数学归纳法的定义一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：证明当nn0时命题成立；假设当nk(kN，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法(2)数学归纳法适用范围数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明(3)数学归纳法的基本过程类型一用数学归纳法证明等式例1用数学归纳法证明1(nN)证明(1)当n1时，左边，右边1，等式成立(2)假设当nk(k1)时，等式成立，即1.当nk1时，11，即当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，原等式对nN均成立反思与感悟利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设跟踪训练1用数学归纳法证明12232n2n(n1)(2n1)(nN)证明(1)当n1时，左边121，右边1，等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时，等式成立，即122232k2.当nk1时，122232k2(k1)2(k1)2.所以当nk1时等式也成立由(1)(2)可知，等式对任何nN都成立类型二证明与整除有关的问题例2求证：x2ny2n(nN)能被xy整除证明(1)当n1时，x2y2(xy)(xy)能被xy整除(2)假设nk(k1，kN)时，x2ky2k能被xy整除，那么当nk1时，x2k2y2k2x2x2ky2y2kx2y2kx2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与x2y2都能被xy整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除即当nk1时，x2k2y2k2能被xy整除由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题均成立反思与感悟利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证跟踪训练2用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN)证明(1)当n1时，13233336能被9整除，所以结论成立(2)假设当nk(kN，k1)时结论成立，即k3(k1)3(k2)3能被9整除则当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3k3(k1)3(k2)3(k3)3k3k3(k1)3(k2)39k227k27k3(k1)3(k2)39(k23k3)因为k3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除，所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除，即当nk1时结论也成立由(1)(2)知，命题对一切nN成立类型三用数学归纳法证明几何命题例3有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证这n个圆将平面分成f(n)n2n2个部分(nN)证明(1)当n1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)1122，所以n1时命题成立(2)假设nk(k1)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)k2k2个部分则当nk1时，在k1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个点将圆O分成k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k1)f(k)2kk2k22k(k1)2(k1)2.所以当nk1时，命题成立综合(1)(2)可知，对一切nN，命题成立反思与感悟(1)数学归纳法证明几何问题的关键在于分析清楚nk与nk1时二者的差异，这时常常借助于图形的直观性，然后用数学式子予以描述，建立起f(k)与f(k1)之间的递推关系，实在分析不出的情况下，将nk1和nk分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可(2)利用数学归纳法证明几何问题要注意利用数形结合寻找公式，还要注意结论要有必要的文字说明跟踪训练3平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，求证：这n条直线把平面分割成(n2n2)个区域(nN)证明(1)当n1时，一条直线把平面分成两个区域，又(1212)2，n1时命题成立(2)假设当nk(k1，kN)时，命题成立，即k条满足题意的直线把平面分割成了(k2k2)个区域那么当nk1时，k1条直线中的k条直线把平面分成了(k2k2)个区域，第k1条直线被这k条直线分成k1段，每段把它们所在的区域分成了两块，因此增加了k1个区域，k1条直线把平面分成了(k2k2)k1(k1)2(k1)2个区域当nk1时命题也成立由(1)(2)知，对一切的nN，此命题均成立1用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为()A1B2C3D4答案C解析边数最少的凸n边形为三角形，故n03.2用数学归纳法证明1aa2an1(nN，a1)，在验证n1成立时，左边所得的项为()A1B1aa2C1aD1aa2a3答案B解析当n1时，n12，故左边所得的项为1aa2.3用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除，当nk1时，34(k1)152(k1)1应变形为_答案81(34k152k1)5652k1(或25(34k152k1)5634k1)解析34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.4用数学归纳法证明13(2n1)n2(nN)证明(1)当n1时，左边1，右边1，等式成立(2)假设当nk(k1)时，等式成立，即13(2k1)k2，那么，当nk1时，13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2.所以当nk1时等式成立由(1)和(2)可知等式对任意正整数n都成立1应用数学归纳法时应注意的问题(1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n1，有时需验证n2，n3.(2)对nk1时式子的项数以及nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障(3)“假设nk时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范2判断利用数学归纳法证明问题是否正确(1)是要看有无归纳基础(2)是证明当nk1时是否应用了归纳假设3与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明其中关键问题是从当nk1时的表达式中分解出nk时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立一、选择题1已知命题12222n12n1及其证明：(1)当n1时，左边1，右边2111，所以等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，即12222k12k1成立，则当nk1时，12222k12k2k11，所以nk1时等式也成立由(1)(2)知，对任意的正整数n等式都成立判断以上评述()A命题、推理都正确B命题正确、推理不正确C命题不正确、推理正确D命题、推理都不正确答案B解析推理不正确，错在证明当nk1时，没有用到假设当nk时的结论，命题由等比数列求和公式知正确2在数列an中，a11，前n项和Sn1先算出数列的前4项的值，再根据这些值归纳猜想数列的通项公式是()Aan1Bann1CanDan答案D解析a11，S21，a2S2S1，a3S3S2，a4S4S3，猜想：an.3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，第二步归纳假设应写成()A假设n2k1(kN)时正确，再推n2k3时正确B假设n2k1(kN)时正确，再推n2k1时正确C假设nk(kN)时正确，再推nk1时正确D假设nk(kN)时正确，再推nk2时正确答案B解析n为正奇数，在证明时，归纳假设应写成：假设当n2k1(kN)时正确，再推出当n2k1时正确，故选B.4设f(n)(nN)，那么f(n1)f(n)等于()A.B.C.D.答案D解析因为f(n)，所以f(n1)，所以f(n1)f(n).5如果123234345n(n1)(n2)n(n1)(na)(nb)对一切正整数n都成立，则a，b的值可以等于()Aa1，b3Ba1，b1Ca1，b2Da2，b3答案D解析令n1,2得到关于a，b的方程组，解得即可6某个命题与正整数n有关，若当nk(kN)时该命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立，现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立答案C解析由已知得当nk时成立nk1时成立当nk1时不成立当nk时不成立由当n5时不成立知，当n4时不成立二、填空题7设f(n)1(nN)，则f(n1)f(n)_.答案解析因为f(n)1，所以f(n1)1，所以f(n1)f(n).8观察式子11,14(12)，149123，猜想第n个式子应为_答案14916(1)n1n2(1)n19已知平面上有n(nN，n3)个点，其中任何三点都不共线，过这些点中任意两点作直线，设这样的直线共有f(n)条，则f(3)_，f(4)_，f(5)_，f(n1)f(n)_.答案3610n解析当nk时，有f(k)条直线当nk1时，增加的第k1个点与原k个点共连成k条直线，即增加k条直线，所以f(k1)f(k)k.所以f(3)3，f(4)6，f(5)10，f(n1)f(n)n.10观察下列等式：(11)21，(21)(22)2213，(31)(32)(33)23135，照此规律，第n个等式可为_答案(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)解析由已知，得第n个等式左边为(n1)(n2)(nn)，右边为2n13(2n1)所以第n个等式为(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)三、解答题11用数学归纳法证明：当n为正整数时，f(n)32n28n9能被64整除证明(1)当n1时，f(1)348964，命题显然成立(2)假设当nk(k1，kN)时，命题成立，即f(k)32k28k9能被64整除当nk1时，f(k1)32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k998(k1)99(32k28k9)64(k1)，即f(k1)9f(k)64(k1)nk1时命题也成立综合(1)(2)可知，对任意的nN，命题都成立12用数学归纳法证明：1(nN)证明(1)当n1时，左边1右边，所以等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时等式成立，即1，则当nk1时，1，所以当nk1时等式也成立由(1)(2)知，对任意nN等式都成立13请观察以下三个式子：(1)13；(2)1324；(3)132435，归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论解结论：132435n(n2).证明：当n1时，左边3，右边3，所以命题成立假设当nk(k1，kN)时，命题成立，即132435k(k2)，当nk1时，1324k(k2)(k1)(k3)(k1)(k3)(2k27k6k18)(2k213k18)，所以当nk1时，命题成立由知，命题成立四、探究与拓展14用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk(kN，k1)的假设到证明nk1时，等式左边应添加的式子是_答案(k1)2k2解析当nk时，左边1222(k1)2k2(k1)22212.当nk1时，左边1222k2(k1)2k2(k1)22212，所以左边添加的式子为(k1)2k2.15已知数列，计算数列和S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明解S1，S2，S3，S4.上面四个结果中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1，于是可以猜想Sn.其证明如下：(1)当n1时，左边S1，右边，猜想成立(2)假设当nk(kN，k1)时猜想成立，即成立，则当nk1时，所以当nk1时，猜想成立由(1)(2)知，猜想对任意nN，Sn都成立