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专题突破五利用导数求切线方程曲线的切线问题是高考的常见题型之一而导数f(x0)的几何意义为曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，所以利用导数解决相切问题是常用的方法下面对“求过一点的切线方程”的题型做以下归纳一、已知切点，求曲线的切线方程此类题只需求出曲线的导数f(x)，并代入点斜式方程即可例1已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_考点题点答案2xy0解析设x0，则x0，f(x)ex1x，因为f(x)为偶函数，所以f(x)ex1x，f(x)ex11，f(1)2，y22(x1)，即y2x.点评本题可以先利用分段型奇偶性原则，求出函数的解析式，再求函数切线，或者利用原函数与导函数的关系来求解跟踪训练1曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ayx2By3x2Cy2x3Dy2x1考点题点答案D解析由题意知，点(1，1)在该曲线上，又y，所以曲线在点(1，1)处的切线的斜率k2，故所求切线的方程为y12(x1)，即y2x1.二、已知过某点，求切线方程过某点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法例2求过曲线f(x)x32x上的点(1，1)的切线方程考点题点解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f(x0)3x2.所以切线方程为yy0(3x2)(xx0)，即y(x2x0)(3x2)(xx0)又知切线过点(1，1)，所以1(x2x0)(3x2)(1x0)解得x01或x0.故所求切线方程为y(12)(32)(x1)，或y，即xy20或5x4y10.点评可以发现直线5x4y10并不以(1，1)为切点，实际上是经过点(1，1)，且以为切点的直线这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点跟踪训练2求过点(2,0)且与曲线f(x)相切的直线方程考点题点解设P(x0，y0)为切点，则切线的斜率为f(x0).所以切线方程为yy0(xx0)，即y(xx0)又已知切线过点(2,0)，代入上述方程，得(2x0)解得x01，y01，即切线方程为xy20.三、求两条曲线的公切线例3(2018河南南阳一中月考)若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9(a0)都相切(1)求切线方程；(2)求实数a的值考点题点解(1)因为yx3，所以y3x2，设过点(1,0)的直线与曲线yx3相切于点(x0，x)，则在点(x0，x)处的切线斜率为k3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x.又点(1,0)在切线上，所以3x2x0，解得x00或x0.故所求的切线方程为y0或yx.(2)由直线y0与曲线yax2x9相切可得方程ax2x90有一个实数根，此时24a(9)0，解得a；由直线yx与曲线yax2x9相切，两方程联立消去y，得ax23x0，此时94a0，解得a1.综上可得，a1或a.点评本例是先求过某点的切线方程，由切线与另一曲线抛物线相切，利用判别式0即可求得参数跟踪训练3已知函数f(x)lnx，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1)，则m的值为()A1B3C4D2考点导数的运算法则题点导数的运算法则的运用答案D解析f(x)，直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，于是解得m2.1函数f(x)exlnx的图像在点(1，f(1)处的切线方程是()Ay2e(x1) Byex1Cye(x1) Dyxe考点题点答案C解析f(x)exlnx，f(x)(ex)lnxex(lnx)exlnx，f(1)e，又f(1)0，在(1,0)处的切线方程为ye(x1)2已知f(x)exx，则过原点与f(x)图像相切的直线方程是()Ay(e1)xByexCyxDye2x考点题点答案A解析设切点坐标为(x0，x0)，由题意可得切线斜率kf(x0)1，所以切线方程为y(1)x，由x0(1)x0，解得x01，所以切线方程为y(e1)x.3过点P(3,9)与曲线y2x27相切的切线的方程为_考点题点答案8xy150或16xy390解析令yf(x)2x27，则f(x)4x，由点P(3,9)不在曲线上，设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)，将P(3,9)及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)，解得x02或4，故切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150或16xy390.4已知f(x)为偶函数，当x0，则x0)(1)求这个函数的图像在x1处的切线方程；(2)若过点(0,0)的直线l与这个函数的图像相切，求直线l的方程考点题点解(1)函数yx2lnx的导数为y2xlnxx，函数的图像在x1处的切线斜率为2ln111，切点为(1,0)，可得切线的方程为y0x1，即xy10.(2)设切点为(m，m2lnm)，可得切线的斜率为2mlnmm，则切线的方程为ym2lnm(2mlnmm)(xm)，由于切线过点(0,0)，m2lnm(2mlnmm)(m)，由m0，可得lnm2lnm1，即lnm1，解得m，所以直线l的方程为xey0.6已知双曲线C：y(m0，所以方程t22mtm0有两个不相等实根，设两根分别为t1与t2，则由t1t2m0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题得证(2)设A，B，由(1)知kAB1，即直线AB的斜率为定值1.
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