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2.函数与导数1求函数的定义域，关键是依据含自变量x的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏对抽象函数，只要对应法则相同，括号里整体的取值范围就完全相同问题1函数f(x)lg(1x)的定义域是_答案(1,1)(1，)2分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用不同的式子来表示对应法则的函数，它是一个函数，而不是几个函数问题2已知函数f(x)的值域为R，那么a的取值范围是_答案解析要使函数f(x)的值域为R，需使所以所以1a.3求函数最值(值域)常用的方法(1)单调性法：适合于已知或能判断单调性的函数(2)图象法：适合于已知或易作出图象的函数(3)基本不等式法：特别适合于分式结构或两元的函数(4)导数法：适合于可导函数(5)换元法(特别注意新元的范围)(6)分离常数法：适合于一次分式问题3函数y(x0)的值域为_答案解析方法一x0，2x1，1，解得y1.其值域为y.方法二y1，x0，00)，则f(x)的周期Ta；(2)f(xa)(f(x)0)或f(xa)f(x)，则f(x)的周期T2a.问题7设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x2,1)时，f(x)则f_.答案18函数图象的几种常见变换(1)平移变换：左右平移“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移“上加下减”(2)翻折变换：f(x)|f(x)|；f(x)f(|x|)(3)对称变换：证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点成中心对称；函数yf(x)与yf(x)的图象关于直线x0 (y轴)对称；函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线y0(x轴)对称问题8函数y的对称中心是_答案(1,3)9如何求方程根的个数或范围求f(x)g(x)根的个数时，可在同一坐标系中作出函数yf(x)和yg(x)的图象，看它们交点的个数；求方程根(函数零点)的范围，可利用图象观察或零点存在性定理问题9已知函数f(x)|x2|1，g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是_答案解析先作出函数f(x)|x2|1的图象，如图所示，当直线g(x)kx与直线AB平行时，斜率为1，当直线g(x)kx过点A时，斜率为，故当f(x)g(x)有两个不相等的实根时，实数k的取值范围是.10二次函数问题(1)处理二次函数的问题勿忘数形结合二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向，二看对称轴与所给区间的相对位置关系(2)若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，要考虑到二次项系数可能为零的情形问题10若关于x的方程ax2x10至少有一个正根，则a的取值范围为_答案11指数函数与对数函数的图象与性质可从定义域、值域、单调性、函数值的变化情况考虑，特别注意底数的取值对有关性质的影响，另外，指数函数yax的图象恒过定点(0,1)，对数函数ylogax的图象恒过定点(1,0)问题11设alog36，blog510，clog714，则a，b，c的大小关系是_答案abc12函数与方程(1)函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标(2)yf(x)在a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，那么f(x)在(a，b)内至少有一个零点，即至少存在一个x0(a，b)使f(x0)0.这个x0也就是方程f(x)0的根(3)用二分法求函数零点问题12函数f(x)的零点个数为_答案113利用导数研究函数单调性的步骤(1)确定函数yf(x)的定义域(2)求导数yf(x)(3)解方程f(x)0在定义域内的所有实根(4)将函数yf(x)的间断点(即函数无定义点)的横坐标和各个实数根按从小到大的顺序排列起来，分成若干个小区间(5)确定f(x)在各个小区间内的符号，由此确定每个区间的单调性特别提醒：(1)多个单调区间不能用“”连接；(2)f(x)为减函数时，f(x)0恒成立，但要验证f(x)是否恒等于0.问题13若函数f(x)x2ln x1在其定义域内的一个子区间(k1，k1)内不是单调函数，则实数k的取值范围是_答案解析因为f(x)的定义域为(0，)，f(x)2x，由f(x)0，得x.利用图象(图略)可得解得1k.14导数为零的点并不一定是极值点，例如：函数f(x)x3，有f(0)0，但x0不是极值点问题14函数f(x)x4x3的极值点是_答案x115利用导数解决不等式问题的思想(1)证明不等式f(x)g(x)，可构造函数h(x)f(x)g(x)，再证明h(x)max0.解析由x25x60，知x3或x2.令ux25x6，则ux25x6在(，2)上是减函数，y(x25x6)的单调增区间为(，2)答案(，2)例2已知奇函数f(x)是定义在(3,3)上的减函数，且满足不等式f(x3)f(x23)0，求x的取值范围易错分析解函数有关的不等式，除考虑单调性、奇偶性，还要把定义域放在首位解由得故0x.f(x)是奇函数，f(x3)3x2，即x2x60，解得x2或x3.综上得2x，即x的取值范围为(2，)易错点2分段函数意义不清例3若函数f(x)在(，)上单调，则a的取值范围是_易错分析只考虑分段函数各段上函数值变化情况，忽视对定义域的临界点处函数值的要求解析若函数在R上单调递减，则有解得a；若函数在R上单调递增，则有解得1a，故a的取值范围是(，(1，答案(，(1，易错点3函数零点求解讨论不全面例4若函数f(x)mx22x1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是_易错分析解本题易出现的错误有分类讨论不全面、函数零点定理使用不当，如忽视对m0的讨论解析当m0时，x为函数的零点；当m0时，若0，即m1时，x1是函数惟一的零点，若0，显然x0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)mx22x10有一个正根一个负根，即mf(0)0，即m0恒成立是f(x)在R上是增函数的必要条件，漏掉f(x)0的情况解析f(x)ax3x2x5的导数f(x)3ax22x1，由f(x)0，得解得a.答案1函数f(x)log2(x26)的定义域为_答案(，)(，)解析由题意得x260x或x0，若函数yf(f(x)1有3个不同的零点，则实数m的取值范围是_答案(0,1)解析令f(f(x)1，得f(x)或f(x)m10，进一步，得x或xm0，所以只要m1，即0m1即可5(2018南通模拟)若曲线yxln x在x1与xt处的切线互相垂直，则正数t的值为_答案e2解析因为yln x1，所以(ln 11)(ln t1)1，所以ln t2，te2.6不等式logaxln2x0，且a1)对任意x(1,100)恒成立，则实数a的取值范围为_答案(0,1)(，)解析不等式logaxln2x4可化为ln2x4，即ln x对任意x(1,100)恒成立因为x(1,100)，所以ln x(0,2ln 10)，ln x4，故4，解得ln a，即0a.7已知函数yf(x)(xR)上任一点(x0，f(x0)处的切线斜率k(x03)(x01)2，则该函数的单调减区间为_答案(，3解析由导数的几何意义可知，f(x0)(x03)(x01)20，解得x03，即该函数的单调减区间是(，38已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集为_答案(5,0)(5，)解析方法一不等式f(x)x的解集，即为函数yf(x)图象在函数yx图象上方部分x的取值范围因为函数f(x)和yx都是R上的奇函数，且方程f(x)x的根为5,0，由图象知，不等式f(x)x的解集为(5,0)(5，)方法二令x0，因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)(x)24(x)x24x.要使f(x)x，则或或解得5x5，所以不等式f(x)x的解集为(5,0)(5，)9已知函数f(x1)是偶函数，当1x10恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为_答案bac解析因为f(x1)是偶函数，所以f(x1)f(x1)，所以yf(x)关于直线x1对称又1x10，知yf(x)在1，)上是增函数，又ff，且23，所以f(2)ff(3)，即ba0可知，1x1，故f(x)的单调增区间是1,1所以解得10且c1，kR)恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是xc.(1)求函数f(x)的另一个极值点；(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m，并求Mm1时k的取值范围解(1)f(x)，由题意知f(c)0，即得c2k2cck0，(*)c0，k0.c1.由f(x)0，得kx22xck0，另一个极值点为xc，即x1.(2)由(*)式得k，即c1.当c1时，k0；当0c1时，k0时，f(x)在(，c)和(1，)上是减函数，在(c,1)上是增函数，Mf(1)0，mf(c)0，解得k.当k0，mf(1)0，Mm11恒成立综上可知，所求k的取值范围为(，2)，)
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