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第3讲函数、导数的综合问题考情考向分析函数和导数的综合问题，主要是利用导数证明不等式问题、函数零点问题、函数的实际应用问题等，一般需要研究函数的单调性和最值问题，注重数学思想的考查B级要求，题目难度较大热点一利用导数研究不等式问题例1已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax3.(1)对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(2)求证：对一切x(0，)，ln x恒成立(1)解由题意知2xln xx2ax3对一切x(0，)恒成立，则a2ln xx.设h(x)2ln xx(x0)，则h(x)，当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.因为对一切x(0，)，2f(x)g(x)恒成立，所以ah(x)min4，即实数a的取值范围是(，4(2)证明问题等价于证明xln x(x(0，)恒成立又f(x)xln x，f(x)ln x1，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，所以f(x)minf.设m(x)(x(0，)，则m(x)，易知m(x)maxm(1)，从而对一切x(0，)，ln x恒成立思维升华利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可以分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题跟踪演练1已知函数f(x)ln xax2x，aR.(1)若f(1)0，求函数f(x)的单调减区间；(2)若关于x的不等式f(x)ax1恒成立，求整数a的最小值解(1)因为f(1)10，所以a2，此时f(x)ln xx2x(x0)，f(x)2x1(x0)由f(x)0，解得x1.又因为x0，所以x1.所以f(x)的单调减区间为(1，)(2)方法一由f(x)ax1恒成立，得ln xax2xax1在(0，)上恒成立，问题等价于a在(0，)上恒成立令g(x)(x0)，只需ag(x)max即可又g(x)，令g(x)0，得xln x0.设h(x)xln x(x0)，因为h(x)0；当x(x0，)时，g(x)0，h(1)0，所以x01，此时10，所以g(x)0，所以g(x)在(0，)上是增函数又因为g(1)ln 1a(1a)1a20，所以关于x的不等式f(x)ax1不能恒成立当a0时，g(x).令g(x)0，得x.所以当x时，g(x)0；当x时，g(x)0，h(2)ln 20，又h(a)在(0，)上是减函数，所以当a2时，h(a)0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标 (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由解(1)令y0，得kx(1k2)x20.由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号所以炮的最大射程为10 km.答炮的最大射程为10 km.(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根(20a)24a2(a264)00a6.所以当a不超过6 km时，可击中目标答当横坐标a不超过6 km时，炮弹可以击中飞行物热点三利用导数研究函数的零点问题例3已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax2(e为自然对数的底数，aR)(1)判断曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线yg(x)的公共点个数；(2)当x时，若函数yf(x)g(x)有两个零点，求a的取值范围解(1)f(x)ln x1，所以切线斜率kf(1)1.又f(1)0，所以曲线在点(1,0)处的切线方程为yx1.由得x2(1a)x10.由(1a)24a22a3(a1)(a3)可知，当0，即a1或a3时，有两个公共点；当0，即a1或a3时，有一个公共点；当0，即1a3时，没有公共点(2)yf(x)g(x)x2ax2xln x，x，由y0，得axln x.令h(x)xln x，x，则h(x).当x时，由h(x)0，得x1.所以h(x)在上单调递减，在1，e上单调递增，因此h(x)minh(1)3.由h2e1，h(e)e1，比较可知hh(e)，所以，结合函数图象，可得当3ae1时，函数yf(x)g(x)有两个零点思维升华(1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等(2)由函数零点求参数范围，一般要根据函数零点的个数，结合函数图象，构造满足问题的不等式求解跟踪演练3已知函数f(x)2ln xx2ax(aR)(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x(x0)，f(x)2x2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即2xy10.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e)所以g(x)在上有两个零点的条件是解得1m2，所以实数m的取值范围是.1(2018江苏)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin 的取值范围；(2)若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43.求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大解(1)如图，设PO的延长线交MN于点H，则PHMN，所以OH10.过点O作OEBC于点E，则OEMN，所以COE，故OE40cos ，EC40sin ，则矩形ABCD的面积为240cos (40sin 10)800(4sin cos cos )，CDP的面积为240cos (4040sin )1 600(cos sin cos )过点N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于点G和K，则GKKN10.令GOK0，则sin 0，0.当时，才能作出满足条件的矩形ABCD，所以sin 的取值范围是.答矩形ABCD的面积为800(4sin cos cos )平方米，CDP的面积为1 600(cos sin cos )平方米，sin 的取值范围是.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43，设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k(k0)，则年总产值为4k800(4sin cos cos )3k1 600(cos sin cos )8 000k(sin cos cos )，.设f()sin cos cos ，则f()cos2sin2sin (2sin2sin 1)(2sin 1)(sin 1)令f()0，得，当时，f()0，所以f()为增函数；当时，f()0，所以f()为减函数，因此，当时，f()取到最大值答当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大2已知函数f(x)在x0处的切线方程为yx.(1)求实数a的值；(2)若对任意的x(0,2)，都有f(x)成立，求实数k的取值范围解(1)由题意得f(x)，因为函数在x0处的切线方程为yx，所以f(0)1，解得a1.(2)由题意知f(x)0，即kx22x对任意x(0,2)都成立，从而k0.不等式整理可得k0，函数g(x)在(1,2)上单调递增，同理可得函数g(x)在(0,1)上单调递减所以k0，所以函数f(x)2xx32在(0,1)上单调递增，且f(0)10210.所以函数f(x)在区间(0,1)内有1个零点4若存在正数x使2x(xa)1成立，则a的取值范围是_答案(1，)解析2x(xa)1，ax.令f(x)x，则f(x)12xln 20.f(x)在(0，)上单调递增，f(x)f(0)011，a的取值范围是(1，)5关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_答案(4,0)解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22，当x0；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0，函数f(x)单调递增；当x(1,3)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的极小值为f(3)24，极大值为f(1)8.而f(2)1，f(5)8，函数图象大致如图所示故要使方程g(x)f(x)m在x2,5上有3个零点，只需函数f(x)在2,5内的函数图象与直线ym有3个交点，故即m1,8)7已知不等式exxax的解集为P，若0,2P，则实数a的取值范围是_答案(，e1)解析由题意知不等式exxax在x0,2上恒成立当x0时，显然对任意实数a，该不等式都成立当x(0,2时，原不等式即a1，令g(x)1，x，则g(x)，当0x1时，g(x)0，g(x)单调递减，当1x2时，g(x)0，g(x)单调递增，故g(x)在(0,2上的最小值为g(1)e1，故a的取值范围为(，e1)8若函数f(x)x3x在(t,8t2)上有最大值，则实数t的取值范围是_答案(3，解析因为f(x)x21，所以当x(，1)和(1，)时，f(x)单调递增，当x(1,1)时，f(x)单调递减，故x1是函数f(x)的极大值点又函数f(x)在(t,8t2)上有最大值，所以t18t2，又f(1)f(2)，且f(x)在(1，)上单调递增，所以f(8t2)f(2)，从而t18t22，得30，当ea0，即ae时，f(x)0，f(x)在(0，)上单调递增，且x，f(x)，此时f(x)0不可能恒成立；当eae时，由f(x)0，得x，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)e，所以，ae，令aet0，则，t0.令g(t)，t0，则g(t)，由g(t)0，得te，且当t(0，e)时，g(t)0，g(t)单调递增，所以g(t)ming(e)，即，故的最小值为.12若曲线C1：yax2(a0)与曲线C2：yex在(0，)上存在公共点，则a的取值范围为_答案解析由题意知方程ax2ex(a0)在(0，)上有解，则a，x(0，)，令f(x)，x(0，)，则f(x)，x(0，)，由f(x)0得x2，当0x2时，f(x)2时，f(x)0，函数f(x)在区间(2，)上是增函数，所以当x2时，函数f(x)在(0，)上有最小值f(2)，所以a.13已知函数f(x)，关于x的方程f2(x)2af(x)a10 (aR)有3个相异的实数根，则a的取值范围是_答案解析f(x)当x0时，f(x)，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，函数f(x)单调递增，当x1时，函数f(x)取得极小值f(1)e，当x0时，f(x)0，函数单调递增，如图，画出函数的图象，设tf(x)，当te时，tf(x)有3个实根，当te时，tf(x)有2个实根，当0t1.当yln x的切线斜率为1时，y1，得x1，则yln x在点(1,0)处的切线与yx平行，则点(1,0)到直线yx的距离，得1(3舍去)15已知函数f(x)2x5ln x，g(x)x2mx4，若存在x1(0,1)，对任意x21,2，总有f(x1)g(x2)成立，求实数m的取值范围解题意等价于f(x)在(0,1)上的最大值大于或等于g(x)在1,2上的最大值f(x)，由f(x)0，得x或x2.当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以在(0,1)上，f(x)maxf35ln 2.又g(x)在1,2上的最大值为maxg(1)，g(2)，所以有即解得解得m85ln 2，所以实数m的取值范围是85ln 2，)16已知函数f(x)ln x(a0)(1)当a2时，求出函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)a对于x0的一切值恒成立，求实数a的取值范围解(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)当a2时，函数f(x)ln x，所以f(x)，所以当x(0，e)时，f(x)0，函数f(x)在(0，e)上单调递减；当x(e，)时，f(x)0，函数f(x)在(e，)上单调递增综上，当a2时，f(x)的单调增区间为(e，)，单调减区间为(0，e)(2)由题意知ln xa(x0)恒成立，等价于xln xae2ax0在(0，)上恒成立令g(x)xln xae2ax，则g(x)ln x1a，令g(x)0，得xea1.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x(0，ea1)ea1(ea1，)g(x)0g(x)极小值所以g(x)的最小值为g(ea1)(a1)ea1ae2aea1ae2ea1.令t(x)xe2ex1(x0)，则t(x)1ex1，令t(x)0，得x1.当x变化时，t(x)，t(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)t(x)0t(x)极大值所以当a(0,1)时，g(x)的最小值为t(a)t(0)e20，符合题意；当a1，)时，g(x)的最小值为t(a)ae2ea10t(2)，所以a1,2综上所述，a(0,2
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