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考点规范练3命题及其关系、充要条件一、基础巩固1.已知a,b,cR,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c23”的否命题是()A.若a+b+c3,则a2+b2+c23B.若a+b+c=3,则a2+b2+c23C.若a+b+c3,则a2+b2+c23D.若a2+b2+c23,则a+b+c=3答案A解析a+b+c=3的否定是a+b+c3,a2+b2+c23的否定是a2+b2+c21,则x21”,则命题p以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中,真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案B解析命题p:“若x1,则x21”是真命题,则其逆否命题为真命题;其逆命题:“若x21,则x1”是假命题,则其否命题也是假命题.综上可得,四个命题中真命题的个数为2.4.已知直线a,b分别在两个不同的平面,内,则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若直线a,b相交,设交点为P,则Pa,Pb.又因为a,b,所以P,P.故,相交.反之,若,相交,设交线为l,当a,b都与直线l不相交时,有ab.显然a,b可能相交,也可能异面、平行.综上,“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件.5.下列命题中为真命题的是()A.命题“若xy,则x|y|”的逆命题B.命题“若x1,则x21”的否命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题D.命题“若x20,则x1”的逆否命题答案A解析对于A,逆命题是:若x|y|,则xy.因为x|y|y,必有xy,所以逆命题是真命题;对于B,否命题是:若x1,则x21.因为x=-5,有x2=251,所以否命题是假命题;对于C,否命题是:若x1,则x2+x-20.因为x=-2,有x2+x-2=0,所以否命题是假命题;对于D,若x20,则x0,不一定有x1,因此逆否命题是假命题.6.若xR,则“1x2”是“|x-2|1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析由|x-2|1,解得1x3.因为“1x2”能推出“1x3”,“1x3”推不出“1x2”,所以“1x2”是“|x-2|0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是()A.m14B.0m0D.m1答案C解析不等式x2-x+m0在R上恒成立,则=1-4m14.所以“不等式x2-x+m0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是m0.8.下列结论错误的是()A.命题“若x2-3x-4=0,则x=4”的逆否命题为“若x4,则x2-3x-40”B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分不必要条件C.命题“若m0,则关于x的方程x2+x-m=0有实根”的逆命题为真命题D.命题“若m2+n2=0,则m=0,且n=0”的否命题是“若m2+n20,则m0或n0”答案C解析若关于x的方程x2+x-m=0有实根,则=1+4m0,即m-14,不能推出m0.所以“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆命题不是真命题,故选C.9.若a,b都是不等于1的正数,则“3a3b3”是“loga33b3,ab1.log3alog3b0.1log3a1log3b,即loga33b3”是“loga3logb3”的充分条件.当0a1时,满足loga33b3,得ab1,由loga33b3,“3a3b3”不是“loga33b3”是“loga30,b0,则“ab”是“a+ln ab+ln b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析设f(x)=x+lnx,显然f(x)在区间(0,+)内单调递增,ab,f(a)f(b),即a+lnab+lnb,故充分性成立,a+lnab+lnb,f(a)f(b),ab,故必要性成立,故“ab”是“a+lnab+lnb”的充要条件,故选C.11.(2018江西抚州七校联考)A,B,C三名学生参加了一次考试,A,B的得分均为70分,C的得分为65分.已知命题p:若及格分低于70分,则A,B,C都没有及格.在下列四个命题中,p的逆否命题是()A.若及格分不低于70分,则A,B,C都及格B.若A,B,C都及格,则及格分不低于70分C.若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分D.若A,B,C至少有一人及格,则及格分高于70分答案C解析根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,p的逆否命题是:若A,B,C至少有一人及格,则及格分不低于70分.故选C.12.有下列几个命题:“若ab,则a2b2”的否命题;“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;“若x24,则-2x1”,是真命题B.逆命题是“若m1,则函数f(x)=ex-mx在区间(0,+)内是增函数”,是假命题C.逆否命题是“若m1,则函数f(x)=ex-mx在区间(0,+)内是减函数”,是真命题D.逆否命题是“若m1,则函数f(x)=ex-mx在区间(0,+)内不是增函数”,是真命题答案D解析由f(x)=ex-mx在区间(0,+)内是增函数,可知f(x)=ex-m0在区间(0,+)内恒成立,故m1.因此命题“若函数f(x)=ex-mx在区间(0,+)内是增函数,则m1”是真命题,所以其逆否命题“若m1,则函数f(x)=ex-mx在区间(0,+)内不是增函数”是真命题.14.已知条件p:k=3;条件q:直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,则p是q的()A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切,可得d=2k2+1=1,解得k=3,所以p是q的充分不必要条件,则p是q的必要不充分条件.15.设xR,则“2-x0”是“|x-1|1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析x=-3满足2-x0,但不满足|x-1|1,“2-x0”不是“|x-1|1”的充分条件.若|x-1|1,则-1x-11,即0x2,可得2-x0,即“2-x0”是“|x-1|1”的必要条件.故“2-x0”是“|x-1|1”的必要不充分条件.故选B.16.已知p:实数x满足x2-4ax+3a20,若p是q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是.答案(1,2解析p是q的必要不充分条件,qp,且pq.设A=x|p(x),B=x|q(x),则BA.又B=x|20时,A=x|ax3a;当a0时,A=x|3ax0时,有a2,33a,解得1a2;当a0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.答案a0a12解析q:(x-a)(x-a-1)0,解得axa+1.由p是q的充分不必要条件,知12,1a,a+1,则a12,a+11,且等号不能同时成立,解得0a12.三、高考预测18.若a,bR,则“ab”是“a(ea+e-a)b(eb+e-b)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案C解析设f(x)=ex+e-x,则f(x)=ex-e-x=e2x-1ex.当x0时,ex1,(ex)2-10.f(x)0,当x0时,f(x)是增函数;ab0,f(a)f(b).ea+e-aeb+e-b.a(ea+e-a)b(eb+e-b).当x0时,0ex1,(ex)2-10.f(x)0,当x0时,f(x)是减函数;ba0,f(a)f(b).ea+e-ab(eb+e-b).当a0b时,a(ea+e-a)b(eb+e-b)显然成立,综上所述,当ab时,a(ea+e-a)b(eb+e-b)恒成立,故充分性成立;反之也成立,故必要性成立;故“ab”是“a(ea+e-a)b(eb+e-b)”的充要条件,故选C.
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