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第3讲圆锥曲线综合问题1圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，往往作为试卷的压轴题之一；2以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题1圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解2定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题若得到了直线方程的点斜式：yy0k(xx0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：ykxm，则直线必过定点(0，m)(2)定值问题：在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题3存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在(3)得出结论热点一圆锥曲线中的最值、范围【例1】(2018济宁期末)已知抛物线C:x2=2pyp0的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且OAOB=-3，直线AO，BO分别交直线y=-1于点M，N(1)求抛物线C的方程；(2)求SOMN的最小值解（1）抛物线C:x2=2pyp0的焦点为F0,p2，Ax1,y1，Bx2,y2设直线AB的方程为：y=kx+p2，联立直线AB与抛物线C的方程可得：y=kx+p2x2=2py，整理得：x2-2pkx-p2=0，所以x1+x2=2pk，x1x2=-p2，y1y2=kx1+p2kx2+p2=k2x1x2+p2kx1+x2+p24=p24，因为OAOB=-3，且OA=x1,y1，OB=x2,y2，所以x1x2+y1y2=-3，即-p2+p24=-3，解得：p=2所以抛物线C的方程为：x2=4y。（2）直线OA的方程为：y=y1x1x，直线OB的方程为：y=y2x2x，联立y=y1x1xy=-1得：x=-x1y1，所以M-x1y1,-1，联立y=y2x2xy=-1得：x=-x2y2，所以N-x2y2,-1，所以MN=x2y2-x1y1=x2y1-x1y2y2y1=x2kx1+p2-x1kx2+p2y1y2=x1-x2=x1+x22-4x1x2，所以SOMN=121x1-x2=12x1+x22-4x1x2=124k2+162，当k=0时，等号成立所以SOMN的最小值为2探究提高求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围【训练1】已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程解(1)设F(c，0)，由条件知，得c又，所以a2，b2a2c21故E的方程为y21(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120当16(4k23)0，即k2时，x1，2从而|PQ|x1x2|又点O到直线PQ的距离d所以OPQ的面积SOPQd|PQ|设t，则t0，SOPQ因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0所以当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2热点二圆锥曲线中的存在性问题【例2】(2019广州一模)已知动圆C过定点F(1,0)，且与定直线x=-1相切（1）求动圆圆心C的轨迹E的方程；（2）过点M-2,0的任一条直线l与轨迹E交于不同的两点P,Q，试探究在x轴上是否存在定点N（异于点M），使得QNM+PNM=？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由解（1）解法1：依题意动圆圆心C到定点F(1,0)的距离与到定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义，可得动圆圆心C的轨迹是以F(1,0)为焦点，x=-1为准线的抛物线， 其中p=2动圆圆心C的轨迹E的方程为y2=4x解法2：设动圆圆心Cx,y，依题意：x-12+y2=x+1化简得：y2=4x，即为动圆圆心C的轨迹E的方程（2）解：假设存在点Nx0,0满足题设条件由QNM+PNM=可知，直线PN与QN的斜率互为相反数，即kPN+kQN=0 直线PQ的斜率必存在且不为0，设PQ:x=my-2,由y2=4xx=my-2得y2-4my+8=0由=-4m2-480,得m2或m0)的焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q(1)D是抛物线C上的动点，点E(1，3)，若直线AB过焦点F，求|DF|DE|的最小值；(2)是否存在实数p，使|2|2|？若存在，求出p的值；若不存在，说明理由解(1)直线2xy20与y轴的交点为(0，2)，F(0，2)，则抛物线C的方程为x28y，准线l：y2设过D作DGl于G，则|DF|DE|DG|DE|，当E，D，G三点共线时，|DF|DE|取最小值235(2)假设存在，抛物线x22py与直线y2x2联立方程组得：x24px4p0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(4p)216p16(p2p)0，则x1x24p，x1x24p，Q(2p，2p)|2|2|，QAQB则0，可得(x12p)(x22p)(y12p)(y22p)(x12p)(x22p)(2x122p)(2x222p)5x1x2(46p)(x1x2)8p28p40，代入得4p23p10，解得p或p1(舍去)因此存在实数p，且满足0，使得|2|2|成立1(2018全国I卷)设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标为(2,0)（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：OMA=OMB1(2018全国III卷)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24+y23=1交于A，B两点，线段AB的中点为M1，mm0（1）证明：kb0)的右顶点为A，直线y与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DAAM点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点1(2017延安调研)如图，椭圆E：1(ab0)，经过点A(0，1)，且离心率为(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值2(2017昆明二模)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴长为2直线l：ykxm与椭圆C交于M，N两点，又l与直线yx，yx分别交于A，B两点，其中点A在第一象限，点B在第二象限，且OAB的面积为2(O为坐标原点)(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围参考答案1【解题思路】(1)首先根据l与x轴垂直，且过点F(1,0)，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求得点A的坐标为(1,22)或(1,-22)，利用两点式求得直线AM的方程；(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果【答案】（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1由已知可得，点A的坐标为(1,22)或(1,-22)所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2（2）当l与x轴重合时，OMA=OMB=0当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以OMA=OMB当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，则x12,x22，直线MA，MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2由y1=kx1-k,y2=kx2-k得kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2)将y=k(x-1)代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0所以，x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0从而kMA+kMB=0，故MA，MB的倾斜角互补，所以OMA=OMB综上，OMA=OMB1【解题思路】（1）设而不求，利用点差法进行证明（2）解出m,进而求出点P的坐标，得到|FP|,再由两点间距离公式表示出FA,|FB|，得到直l的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解【答案】（1）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x124+y123=1,x224+y223=1两式相减，并由y1-y2x1-x2=k得x1+x24+y1+y23k=0由题设知x1+x22=1,y1+y22=m，于是k=-34m由题设得0m32，故k-12（2）由题意得F(1,0)，设P(x3,y3)，则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0)由（1）及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m0，而m20，14k20，又|AB|，又原点O到直线l的距离为，即OMN底边AB上的高为，SOMN2，m214k2，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将直线l代入椭圆方程，整理可得(12k2)x24kmx2m220，x1x2，x1x2，16k2m24(12k2)(2m22)48k20，则k20，y1y2(kx1m)(kx2m)，x1x2y1y27，0k2，12k2，故的取值范围为
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