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第1讲 等差数列、等比数列及运算A组小题提速练一、选择题1已知数列an，若点(n，an)(nN*)在经过点(8,4)的定直线l上，则数列an的前15项和S15()A12B32C60 D120解析：点(n，an)在定直线上，数列an是等差数列，且a84，S1515a860.答案：C2已知各项不为0的等差数列an满足a42a3a80，数列bn是等比数列，且b7a7，则b2b8b11等于()A1 B2C4 D8解析：a42a3a80，2aa43a8，2aa5a72a8a5a7a7a9，即2a4a7，a72，b72，又b2b8b11b6b8b7bb7(b7)38，故选D.答案：D3在等差数列an中，an0，且a1a2a1030，则a5a6的最大值等于()A3 B6C9 D36解析：a1a2a1030，得a5a66，又an0，a5a6229.答案：C4设等差数列an满足a27，a43，Sn是数列an的前n项和，则使得Sn0的最大的自然数n是()A9 B10C11 D12解析：an的公差d2，an的通项为an72(n2)2n11，an是递减数列，且a50a6，a5a60，于是S99a50，S10100，S1111a60，故选A.答案：A5在等比数列an中，a1an34，a2an164，且前n项和Sn62，则项数n等于()A4 B5C6 D7解析：设等比数列an的公比为q，由a2an1a1an64，又a1an34，解得a12，an32或a132，an2.当a12，an32时，Sn62，解得q2.又ana1qn1，所以22n12n32，解得n5.同理，当a132，an2时，由Sn62，解得q.由ana1qn132n12，得n14，即n14，n5.综上，项数n等于5，故选B.答案：B6在等差数列an中，a12 015，其前n项和为Sn，若2，则S2 016的值等于()A2 015 B2015C2016 D0解析：设数列an的公差为d，S1212a1d，S1010a1d，所以a1d.a1d，所以d2，所以S2 0162 016a1d0.答案：D7设等差数列an的前n项和为Sn，且满足S170，S180，则，中最大的项为()A. B.C. D.解析：因为an是等差数列，所以S1717a90，a90，S189(a9a10)0，a100，即该等差数列前9项均是正数项，从第10项开始是负数项，则最大，故选C.答案：C8正项等比数列an中，a28,16aa1a5，则数列an的前n项积Tn中的最大值为()AT3 BT4CT5 DT6解析：设正项等比数列an的公比为q(q0)，则16aa1a5a2a48a4，a4，q2，又q0，则q，ana2qn28n2272n，则Tna1a2an253(72n)2n(6n)，当n3时，n(6n)取得最大值9，此时Tn最大，即(Tn)maxT3，故选A.答案：A9(2018铜仁质检)在由正数组成的等比数列an中，若a3a4a53，则sin(log3a1log3a2log3a7)的值为()A. B.C1 D解析：因为a3a4a53a，所以a43，即log3a1log3a2log3a7log3(a1a2a7)log3a7log33，所以sin(log3a1log3a2log3a7).答案：B10(2018江西红色七校联考)等比数列an满足an0，q1，a3a520，a2a664，则公比q为()A. B.C2 D4解析：由已知可得，解得或(舍去)，故4q2，故q2，选C.答案：C11(2017高考全国卷)等差数列an的首项为1，公差不为0.若a2，a3，a6成等比数列，则an前6项的和为()A24 B3C3 D8解析：设等差数列an的公差为d，因为a2，a3，a6成等比数列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2，又a11，所以d22d0，又d0，则d2，所以a6a15d9，所以an前6项的和S6624，故选A.答案：A12已知数列an是等比数列，数列bn是等差数列，若a1a6a113，b1b6b117，则tan的值是()A1 B.C D解析：an是等比数列，bn是等差数列，且a1a6a113，b1b6b117，a()3,3b67，a6，b6，tantantantan()tan(2)tan.答案：D二、填空题13已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8_.解析：因为an为等差数列，且a1，a2，a5成等比数列，所以a1(a14d)(a1d)2，解得d2a12，所以S864.答案：6414设Sn为等比数列an的前n项和若a11，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an_.解析：由3S1,2S2，S3成等差数列，得4S23S1S3，即3S23S1S3S2，则3a2a3，得公比q3，所以ana1qn13n1.答案：3n115(2018江西师大附中检测)已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S1，S3，S4成等差数列，则数列an的公比为_解析：设an的公比为q，由题意易知q0且q1，因为S1，S3，S4成等差数列，所以2S3S1S4，即a1，解得q.答案：16(2018开封模拟)已知函数yf(x)的定义域为R，当x1，且对任意的实数x，yR，等式f(x)f(y)f(xy)恒成立若数列an满足a1f(0)，且f(an1)(nN*)，则a2 016的值为_解析：根据题意，不妨设f(x)()x，则a1f(0)1，f(an1)，an1an2，数列an是以1为首项、2为公差的等差数列，an2n1，a2 0164 031.答案：4 031B组大题规范练1已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n(nN*)(1)求a1，a2，a3的值；(2)设bnan3，证明数列bn为等比数列，并求an.解析：(1)因为数列an的前n项和为Sn，且Sn2an3n(nN*)所以n1时，由a1S12a131，解得a13，n2时，由S22a232，得a29，n3时，由S32a333，得a321.(2)因为Sn2an3n，所以Sn12an13(n1)，两式相减，得an12an3，*把bnan3及bn1an13，代入*式，得bn12bn(nN*)，且b16，所以数列bn是以6为首项，2为公比的等比数列，所以bn62n1，所以anbn362n133(2n1)2已知数列an的首项为1，Sn为数列an的前n项和，且满足Sn1qSn1，其中q0，nN*，又2a2，a3，a22成等差数列(1)求数列an的通项公式；(2)记bn2an(log2an1)2，若数列bn为递增数列，求的取值范围解析：(1)由Sn1qSn1可得，当n2时，SnqSn11得：an1qan.又S2qS11且a11，所以a2qqa1，所以数列an是以1为首项，q为公比的等比数列又2a2，a3，a22成等差数列，所以2a32a2a223a22，即：2q23q2，所以2q23q20，解得：q2或q(舍)，所以数列an的通项公式为：an2n1(nN*)(2)由题意得：bn22n1(log22n)22nn2，若数列bn为递增数列，则有bn1bn2n1(n1)22nn22n2n0，即1，所以数列为递增数列所以，所以0，所以数列Rn单调递增所以n1时，Rn取最小值，故最小值为.4已知数列an的前n项和为Sn，满足anSn2n.(1)证明：数列an2为等比数列，并求出an；(2)设bn(2n)(an2)，求bn的最大项解析：(1)由a1S12a12，得a11.由anSn2n可得an1Sn12(n1)，两式相减得，2an1an2，an12(an2)，an2是首项为a121，公比为的等比数列，an2(1)n1，故an2n1.(2)由(1)知bn(2n)(1)n1(n2)n1，由bn1bn0，得n3，由bn1bn3，b1b2b5bn，故bn的最大项为b3b4.
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