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第1讲平面向量一、选择题1设a(1,2)，b(1,1)，cakb.若bc，则实数k的值等于()ABC. D.解析：因为cakb(1k,2k)，又bc，所以1(1k)1(2k)0，解得k.答案：A2(2018山西四校联考)已知|a|1，|b|，且a(ab)，则向量a与向量b的夹角为 ()A. B.C. D.解析：a(ab)，a(ab)a2ab1cosa，b0，cosa，b，a，b.答案：B3已知A，B，C三点不共线，且点O满足0，则下列结论正确的是 ()A.B.C.D.解析：0，O为ABC的重心，()()()(2)，故选D.答案：D4已知点A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，则向量在方向上的投影为 ()A. B.CD解析：(2,1)，(5,5)，|5，故在方向上的投影为.答案：A5已知向量a，b，c中任意两个向量都不共线，但ab与c共线，bc与a共线，则abc()AaBb CcD0解析：ab与c共线，bc与a共线，可设abc，bca，两式作差整理后得到(1)c(1)a，向量a，c不共线，10,10，即1，1，abc，即abc0.故选D.答案：D6已知a，b是单位向量，且ab.若平面向量p满足papb，则|p|()A.B1C.D2解析：由题意，不妨设a(1,0)，b，p(x，y)，papb，解得|p|1，故选B.答案：B7(2018沈阳质检)在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则()A. B.C. D.解析：由|，化简得0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以与垂直，所以ABC为直角三角形以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，所以，所以.答案：B8(2018高考浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b24eb30，则|ab|的最小值是 ()A.1 B.1C2D2解析：设O为坐标原点，a，b(x，y)，e(1,0)，由b24eb30得x2y24x30，即(x2)2y21，所以B的轨迹是以C(2,0)为圆心，1为半径的圆因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线yx(x0)上，如图，数形结合可知|ab|min|1.故选A.答案：A9已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是 ()A1，1B1，2C1，1D1，2解析：由a，b为单位向量且ab0，可设a(1,0)，b(0,1)，又设c(x，y)，代入|cab|1得(x1)2(y1)21，又|c|，故由几何性质得1|c|1，即1|c|1.答案：A10在平面直角坐标系中，点A与B关于y轴对称若向量a(1，k)，则满足不等式2a0的点A(x，y)的集合为 ()A(x，y)|(x1)2y21B(x，y)|x2y2k2C(x，y)|(x1)2y21D(x，y)|(x1)2y2k2解析：由A(x，y)可得B(x，y)，则(2x,0)，不等式()2a0可化为x2y22x0，即(x1)2y21，故选C.答案：C11(2018广州五校联考)已知RtAOB的面积为1，O为直角顶点，设向量a，b，a2b，则的最大值为()A1B2C3D4解析：如图，设A(m,0)，B(0，n)，mn2，则a(1,0)，b(0,1)，a2b(1,2)，(m1，2)，(1，n2)，5(m2n)521，当且仅当m2n，即m2，n1时，等号成立答案：A12已知ABC中，|10，16，D为边BC的中点，则|等于()A6B5C4D3解析：由题知()，16，|cosBAC16.在ABC中，|2|2|22|cosBAC，102|A|2|232，|2|268，|2(222)(6832)9，|3.答案：D二、填空题13(2018高考北京卷)设向量a(1,0)，b(1，m)若a(mab)，则m_.解析：由题意得，mab(m1，m)，根据向量垂直的充要条件可得1(m1)0(m)0，所以m1.答案：114若平面向量a，b满足|2ab|3，则ab的最小值是_解析：由|2ab|3可知，4a2b24ab9，所以4a2b294ab，而4a2b2|2a|2|b|22|2a|b|4ab，所以ab，当且仅当2ab时取等号答案：15在等腰梯形ABCD中，已知ABDC，AB2，BC1，ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上，且，则的值为_解析：作COAB于O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，所以E，F，所以.答案：16已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E，F分别在边BC，DC上，BC3BE，DCDF.若1，则的值为_解析：如图，所以2222cos 1201，解得2.答案：2
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