资源描述
第10讲数列、等差数列与等比数列1.(1)2014全国卷 数列an满足an+1=11-an,a8=2,则a1=.(2)2018全国卷 记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.试做_命题角度数列的递推问题(1)解决数列的递推问题:关键一:利用an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2得出an与an+1(或an-1)的递推式;关键二:观察递推式的形式,采用不同的方法求an.(2)若递推式为an+1=an+f(n)或an+1=f(n)an,则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式;若递推式为an+1=pan+q(其中p,q均为常数,且p1),则通常化为an+1-t=p(an-t),其中t=q1-p,再利用换元法转化为等比数列求解.2.(1)2017全国卷 等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8(2)2016全国卷 设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.试做 _命题角度等差、等比数列的基本计算关键一:基本量思想(等差数列的首项a1和公差d,等比数列的首项a1和公比q).关键二:等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq;等比数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq.3.(1)2017全国卷 等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则k=1n1Sk=.(2)2015全国卷 设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.试做_命题角度数列求和关键一:利用等差数列、等比数列前n项和公式;关键二:利用数列求和方法(倒序相加法、分组求和法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法).小题1数列的递推关系1(1)已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,若10Sn=an2+5an-6,则a10-a9的值为()A.3B.4C.5D.6(2)若数列an满足a1=0,an+1=an-33an+1(nN*),则a56=()A.-3B.0C.3D.32听课笔记 _【考场点拨】由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:先求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的通项公式(注意验证);将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法(适用an+1=an+f(n)型)、累乘法(适用an+1=anf(n)型)、待定系数法(适用an+1=pan+q型)求通项公式.【自我检测】1.若Sn为数列an的前n项和,且Sn=2an-2,则S8等于()A.255B.256C.510D.5112.已知数列an满足a1=2,an+1=4an-3,若cn=an-1,则数列cn的通项公式为cn=. 3.若数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n,则数列an的通项公式为an=.4.已知数列a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1,公差为1的等差数列,则数列an的通项公式为an=.小题2等差、等比数列的基本计算2(1)已知公比q1的等比数列an的前n项和为Sn,a1=1,S3=3a3,则S5=()A.1B.5C.3148D.1116(2)已知等差数列an的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a3=()A.-10B.-6C.-8D.-4听课笔记 _【考场点拨】高考中等差、等比数列的基本运算的注意点:(1)在进行等差(等比)数列的基本运算时,常利用公式把已知条件转化为关于首项a1 和公差d(公比q)的方程组,求出首项a1 和公差d(公比q);(2)特别注意在等比数列求和中,要对公比q=1和q1两种情况进行讨论;(3)解题时一定要注意几个隐含条件:n必须是正整数,公比q不为0,等比数列中没有0这一项.【自我检测】1.已知等差数列an的前n项和为Sn,且满足S4+a25=5,则一定有()A.a6 是常数B.S7是常数C.a13是常数D.S13是常数2.已知等比数列an的前n项和是Sn,则下列说法一定正确的是()A.若a30,则a20170,则a20180,则S20170D.若a40,则S201803.已知数列an,bn满足a1=b1=1,an+1-an=bn+1bn=2,nN*,则数列ban的前10项和为()A.43(49-1)B.43(410-1)C.13(49-1)D.13(410-1)4.已知递增的等比数列an中,a2=6,且a1+1,a2+2,a3成等差数列,则数列an的前6项和S6=()A.93B.189C.18916D.378小题3等差、等比数列的性质3(1)已知Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则a2+a3a1=()A.4B.6C.8D.10(2)已知等比数列an的各项均为正数,且a1a5=4,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=.听课笔记 _【考场点拨】使用等差、等比数列的性质时的注意点:(1)通项性质:若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),对等差数列有am+an=ap+aq=2ak,对于等比数列有aman=apaq=ak2.(2)前n项和的性质:对等差数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等差数列;对等比数列若有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等比数列,则q-1,或q=-1且m为奇数.【自我检测】1.已知正项数列an的各项均不相等,且2an=an-1+an+1(nN*,n2),则下列各式中一定成立的是()A.a2a4=a32B.a2a4a322.已知等比数列an的公比为负数,且an+3an-1=4an2(nN*,n2),a2=2,则首项a1等于()A.1B.4C.-1D.-43.已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若S10=10,S30=70,则S40=.第10讲数列、等差数列与等比数列 典型真题研析1.(1)12(2)-63解析(1)由题易知a8=11-a7=2,得a7=12;a7=11-a6=12,得a6=-1;a6=11-a5=-1,得a5=2,于是可知数列an具有周期性,且周期为3,所以a1=a7=12.(2)方法一:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,又由Sn=2an+1=2(Sn-Sn-1)+1(n2),得Sn=2Sn-1-1(n2),即Sn-1=2(Sn-1-1)(n2),所以数列Sn-1是以S1-1=-2为首项,2为公比的等比数列,所以S6-1=(-2)25=-64,则S6=-63.方法二:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1.由Sn=2an+1,得Sn-1=2an-1+1(n2),-得an=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2),所以an是以a1=-1为首项,2为公比的等比数列,于是S6=(-1)(1-26)1-2=-63.2.(1)A(2)64解析(1)an为等差数列,且a2,a3,a6成等比数列,则a32=a2a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d).将a1=1代入上式并化简,得d2+2d=0,d0,d=-2,S6=6a1+652d=16+652(-2)=-24.(2)设该等比数列的公比为q,则q=a2+a4a1+a3=12,可得a1+14a1=10,得a1=8,所以an=812n-1=12n-4.所以a1a2an=12-3-2-1+0+(n-4)=1212(n2-7n),易知当n=3或n=4时,12(n2-7n)取得最小值-6,故a1a2an的最大值为12-6=64.3.(1)2nn+1(2)-1n解析(1)设公差为d,则a1+2d=3且4a1+6d=10,解得a1=1,d=1,所以Sk=k(k+1)2,1Sk=21k-1k+1,所以k=1n1Sk=21-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.(2)因为a1=-1,an+1=SnSn+1,所以S1=-1,Sn+1-Sn=SnSn+1,所以1Sn+1-1Sn=-1,所以数列1Sn是首项为-1,公差为-1的等差数列,所以1Sn=-n,所以Sn=-1n. 考点考法探究小题1例1(1)C(2)A解析(1)由10Sn=an2+5an-6,得10Sn-1=an-12+5an-1-6(n2),由-得10an=an2-an-12+5an-5an-1(n2),故有(an+an-1)(an-an-1)-5(an+an-1)=0,即(an+an-1)(an-an-1-5)=0,又因为数列an的各项均为正数,所以an-an-1=5,所以a10-a9=5.故选C.(2)当n=1 时,a2=a1-33a1+1=0-330+1=-3;当n=2时,a3=a2-33a2+1=-3-33(-3)+1=3;当n=3 时,a4=a3-33a3+1=3-333+1=0;当n=4 时,a5=-3;当n=5 时,a6=3;.数列an具有周期性,且周期为3,a56=a2=3.故选A.【自我检测】1.C解析 令n=1,得a1=S1=2a1-2,解得a1=2.由Sn=2an-2得Sn+1=2an+1-2,两式相减得an+1=2an+1-2an,整理得an+1=2an,所以数列an是以2为首项,以2为公比的等比数列,所以S8=2(1-28)1-2=510.故选C.2.4n-1解析 因为an+1=4an-3,cn=an-1,所以cn+1=an+1-1=4(an-1)=4cn,又c1=a1-1=1,所以数列cn是首项为1,公比为4的等比数列,所以cn=4n-1.3.22n-1解析 令n=1,可得a1=2.由a1+3a2+(2n-1)an=2n可得a1+3a2+(2n-3)an-1=2n-2(n2),两式相减得(2n-1)an=2,即an=22n-1,又因为a1=2满足上式,所以数列an的通项公式为an=22n-1.4.12n(n+1)解析 因为a1,a2-a1,a3-a2,an-an-1,是首项为1,公差为1的等差数列,所以当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=n+n(n-1)2=12n(n+1),又因为a1=1满足上式,所以数列an的通项公式为an=12n(n+1).小题2例2(1)D(2)D解析(1)由题意得a1(1-q3)1-q=3a1q2,解得q=-12或q=1(舍),所以S5=a1(1-q5)1-q=1-(-12)51-(-12)=1116.故选D.(2)根据题意得,a1=a3-2d=a3-4,a4=a3+d=a3+2,因为a1,a3,a4成等比数列,所以a32=a4a1,即a32=(a3+2)(a3-4),所以a3=-4.故选D.【自我检测】1.D解析 设数列an的公差为d.由S4+a25=5得4a1+432d+(a1+24d)=5,整理得a1+6d=1,即a7=1,所以S13=(a1+a13)132=13a7=13.故选D.2.C解析 设an=a1qn-1.对于A,a2017=a3q2014,而q20140,a30,故a20170,故A中说法错误;对于B,a2018=a4q2014,而q20140,a40,故a20180,故B中说法错误;对于C,因为a3=a1q20,故a10,若q1,则S2017=a1(1-q2017)1-q,且1-q与1-q2017同号,故S20170,若q=1,则S2017=2017a10,故C中说法正确;对于D,取数列1,1,1,1,其中a40,S20180,取数列-1,1,-1,1,其中a40,但S2018=0,故D中说法不一定正确.故选C.3.D解析 因为an+1-an=bn+1bn=2,a1=b1=1,所以数列an是首项为1,公差为2的等差数列,数列bn是首项为1,公比为2的等比数列,所以an=1+2(n-1)=2n-1,bn=12n-1=2n-1,所以数列ban的前10项和为ba1+ba2+ba10=b1+b3+b5+b19=20+22+24+218=40+41+49=1-4101-4=13(410-1).故选D.4.B解析 设数列an的公比为q,由题意可知q1,且2(a2+2)=a1+1+a3,即2(6+2)=6q+1+6q,整理得2q2-5q+2=0,解得q=2或q=12(舍去),则a1=62=3,数列an的前6项和S6=3(1-26)1-2=189.故选B.小题3例3(1)C(2)5解析(1)设等差数列an的公差为d,且d0.S1,S2,S4成等比数列,S22=S1S4,(a1+a2)2=a14(a1+a4)2,(2a1+d)2=2a1(2a1+3d),d2=2a1d,解得d=2a1或d=0(舍去),a2+a3a1=a1+d+a1+2da1=8a1a1=8.故选C.(2)由等比数列的性质可知a1a5=a2a4=a32,于是由a1a5=4且数列an的各项均为正数得a3=2,故a1a2a3a4a5=32,则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2(a1a2a3a4a5)=log232=5.【自我检测】1.B解析正项数列an的各项均不相等,且2an=an-1+an+1(nN*,n2),数列an是各项均不相等的正项等差数列,a2a40,记b1=S10,b2=S20-S10,b3=S30-S20,b4=S40-S30,则b1,b2,b3,b4是公比为r=q100的等比数列,b1+b2+b3=10+10r+10r2=S30=70,r2+r-6=0,解得r=2或r=-3(舍去),S40=b1+b2+b3+b4=10(1-24)1-2=150.备选理由 备用例1中涉及的递推形式听课例1中没有涉及,此题告诉了学生处理此种问题的方法;备用例2是关于数列奇数项和偶数项的问题,听课例2中没有涉及.例1配例1使用 已知数列an满足a1=0,an+1=an+2an+1,则a13=()A.121B.136C.144D.169解析C由an+1=an+2an+1,可知an+1=(an+1)2,即an+1=an+1,故数列an是公差为1,首项为a1=0的等差数列,故a13=a1+12=12,则a13=144.故选C.例2配例2使用 在等差数列an中,前10项中奇数项的和为15,偶数项的和为30,若a1+a3+a5+a99=60,则a1+a2+a3+a100=.答案270解析 设等差数列an的公差为d,则30-15=5d,所以d=3,所以(a1+d)+(a3+d)+(a99+d)=a2+a4+a100=60+50d=210,所以a1+a2+a3+a100=(a1+a3+a99)+(a2+a4+a100)=60+210=270.
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