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单元质检七不等式、推理与证明(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2018山东济宁期末)已知a0,b0,且1a,12,1b成等差数列,则a+9b的最小值为()A.16B.9C.5D.4答案A解析1a,12,1b成等差数列,1a+1b=1.a+9b=(a+9b)1a+1b=10+ab+9ba10+2ab9ba=16,当且仅当ab=9ba,且1a+1b=1,即a=4,b=43时等号成立.故选A.2.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x2+1)是正弦函数,因此f(x)=sin(x2+1)是奇函数.以上推理()A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确答案C解析因为f(x)=sin(x2+1)不是正弦函数,所以小前提不正确.3.若x,y满足约束条件x0,x+y-30,x-2y0,则z=x+2y的取值范围是()A.0,6B.0,4C.6,+)D.4,+)答案D解析画出约束条件x0,x+y-30,x-2y0所表示的平面区域为图中阴影部分所示,由目标函数z=x+2y得直线l:y=-12x+12z,当l经过点B(2,1)时,z取最小值,zmin=2+21=4.又因为z无最大值,所以z的取值范围是4,+),故选D.4.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是()A.0,2B.-2,0C.-2,+)D.(-,-2答案D解析2x+2y=122x+y,1222x+y,即2x+y2-2.x+y-2.5.袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案B解析若乙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个均是红球;若乙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且红球放入甲盒;若丙盒中放入的是红球,则须保证抽到的两个球是一红一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,则须保证抽到的两个球都是黑球;又由于袋中有偶数个球,且红球、黑球各占一半,则每次从袋中任取两个球,直到袋中所有球都被放入盒中时,抽到两个红球的次数与抽到两个黑球的次数一定是相等的,故乙盒中红球与丙盒中黑球一样多,故选B.6.已知实数x,y满足x+y1,x-y-1,2x-y2,则z=4x+3y的最大值为()A.3B.4C.18D.24答案D解析画出满足条件x+y1,x-y-1,2x-y2的平面区域,如图所示:由x-y=-1,2x-y=2,解得A(3,4),由z=4x+3y得y=-43x+13z,结合图象得直线过点A(3,4)时,z最大,z的最大值是24,故选D.7.已知不等式1a-b+1b-c+c-a0对满足abc恒成立,则的取值范围是()A.(-,0B.(-,1)C.(-,4)D.(4,+)答案C解析变形得(a-c)1a-b+1b-c=(a-b)+(b-c)1a-b+1b-c=1+a-bb-c+b-ca-b+1,而1+a-bb-c+b-ca-b+14(当且仅当(a-b)2=(b-c)2时等号成立),则0的解集为xx12,则不等式bx2-5x+a0的解集为()A.x-13x12B.xx12C.x|-3x2D.x|x2答案C解析由题意知a0,且12,-13是关于x的方程ax2-5x+b=0的两根,-13+12=5a,-1312=ba,解得a=30,b=-5,bx2-5x+a0为-5x2-5x+300,x2+x-60,解得-3x0),即x=80时等号成立,故选B.10.已知实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+y-a0,2x-y-40.若z=y+1x+1的最小值为-14,则正数a的值为()A.76B.1C.34D.89答案D解析实数x,y满足约束条件x-y+10,2x+y-a0,2x-y-40的可行域如图阴影部分.已知a0,由z=y+1x+1表示过点(x,y)与点(-1,-1)的直线的斜率,且z的最小值为-14,所以点A与点(-1,-1)连线的斜率最小,由2x+y-a=0,2x-y-4=0,解得A1+a4,a2-2,z=y+1x+1的最小值为-14,即y+1x+1min=a2-2+1a4+1+1=2a-4a+8=-14,解得a=89.故选D.11.(2018山东烟台二模)已知P(x,y)为区域y2-4x20,ax0内的任意一点,当该区域的面积为4时,z=x-2y的最小值是()A.-52B.-32C.-2D.0答案A解析画出不等式组表示的平面区域,如图所示,则A(a,2a),B(a,-2a),SABO=12|a|4a|=2a2=4,解得a=-2(正值舍去),所以A-2,-22,B-2,22.由目标函数的几何意义可得,当z=x-2y过点B时取得最小值,此时z=x-2y=-2-222=-52.故选A.12.已知任意非零实数x,y满足3x2+4xy(x2+y2)恒成立,则实数的最小值为()A.4B.5C.115D.72答案A解析依题意,得3x2+4xy3x2+x2+(2y)2=4(x2+y2)(当且仅当x=2y时等号成立).因此有3x2+4xyx2+y24,当且仅当x=2y时等号成立,即3x2+4xyx2+y2的最大值是4,结合题意得3x2+4xyx2+y2,故4,即的最小值是4.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610正方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.答案F+V-E=2解析三棱柱中5+6-9=2;五棱锥中6+6-10=2;正方体中6+8-12=2;由此归纳可得F+V-E=2.14.已知f(x)=lg(100x+1)-x,则f(x)的最小值为.答案lg 2解析f(x)=lg(100x+1)-x=lg100x+110x=lg(10x+10-x)lg2,当且仅当x=0时等号成立,f(x)的最小值为lg2.15.如果函数f(x)在区间D上是凸函数,那么对于区间D内的任意x1,x2,xn,都有f(x1)+f(x2)+f(xn)nfx1+x2+xnn.若y=sin x在区间(0,)内是凸函数,则在ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值是.答案332解析由题意知,凸函数f(x)满足f(x1)+f(x2)+f(xn)nfx1+x2+xnn.y=sinx在区间(0,)内是凸函数.sinA+sinB+sinC3sinA+B+C3=3sin3=332.16.已知实数x,y满足约束条件x0,xy,2x-y1,则23x+2y的最大值是.答案32解析设z=3x+2y,由z=3x+2y,得y=-32x+z2.作出不等式组x0,xy,2x-y1对应的平面区域如图阴影部分所示,由图象可知当直线y=-32x+z2经过点B时,直线y=-32x+z2在y轴上的截距最大,此时z也最大.由x=y,2x-y=1,解得x=1,y=1,即B(1,1).故zmax=31+21=5,则23x+2y的最大值是25=32.
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