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第一讲坐标系与参数方程年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018卷极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系T221.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2.全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.卷曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义T22卷参数方程与直角坐标方程的互化T222017卷参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离T22卷直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题T22卷直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法T222016卷参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用T23卷极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系T23卷参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角函数的最值T23极坐标方程及应用授课提示：对应学生用书第75页悟通方法结论1圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r，则圆的方程为：220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为r：r；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：2acos ；(3)当圆心位于M，半径为a：2asin .2直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴与此直线所成的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：0和0；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.全练快速解答1(2018高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos 30.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解析：(1)由xcos ，ysin 得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于点B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，点A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，点A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点综上，所求C1的方程为y|x|2.2(2017高考全国卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为cos 4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|OP|16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求OAB面积的最大值解析：(1)设P的极坐标为(，)(0)，M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程4cos (0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)，由题设知|OA|2，B4cos ，于是OAB面积S|OA|BsinAOB4cos |sin|2|sin|2.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.3(2018长春二模)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos1，M，N分别为曲线C与x轴，y轴的交点(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设M，N的中点为P，求直线OP的极坐标方程解析：(1)cos1，cos cos sin sin1.又xy1，即曲线C的直角坐标方程为xy20，令y0，则x2；令x0，则y.M(2,0)，N.M的极坐标为(2,0)，N的极坐标为.(2)M，N连线的中点P的直角坐标为，P的极角为，直线OP的极坐标方程为(R)1.极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有cos ，sin ，2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程(2)巧借两角和差公式，转化sin()或cos()的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的x转化为cos ，将y换成sin ，即可得到其极坐标方程2求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标参数方程授课提示：对应学生用书第76页悟通方法结论几种常见曲线的参数方程(1)圆以O(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是其中是参数当圆心在(0,0)时，方程为其中是参数(2)椭圆椭圆1(ab0)的参数方程是其中是参数椭圆1(ab0)的参数方程是其中是参数(3)直线经过点P0(x0，y0)，倾斜角为的直线的参数方程是其中t是参数全练快速解答1(2018高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率解析：(1)曲线C的直角坐标方程为1.当cos 0时，l的直角坐标方程为ytan x2tan ，当cos 0时，l的直角坐标方程为x1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以有两个解，设为t1，t2，则t1t20.又由得t1t2，故2cos sin 0，于是直线l的斜率ktan 2.2(2017高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解析：(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标为(3,0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d.当a4时，d的最大值为.由题设得，解得a8；当a4时，d的最大值为.由题设得，解得a16.综上，a8或a16.3(2018惠州模拟)已知曲线C的极坐标方程是4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|AB|，求直线l的倾斜角的值解析：(1)由4cos 得24cos .x2y22，xcos ，ysin ，曲线C的直角坐标方程为x2y24x0，即(x2)2y24.(2)将代入曲线C的方程得(tcos 1)2(tsin )24，化简得t22tcos 30.设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则.|AB|t1t2|，4cos22，cos ，或.1有关参数方程问题的2个关键点(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义2利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0；(2)|PM|t0|；(3)|AB|t2t1|；(4)|PA|PB|t1t2|.极坐标方程与参数方程的综合应用授课提示：对应学生用书第77页(2017高考全国卷)(10分)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数)设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：(cos sin )0，M为l3与C的交点，求M的极径规范解答(1)消去参数t得l1的普通方程l1：yk(x2)；消去参数m得l2的普通方程l2：y(x2) (2分)设P(x，y)，由题设得消去k得x2y24(y0)所以C的普通方程为x2y24(y0) (4分)(2)C的极坐标方程为2(cos2sin2)4(02，)联立 (6分)得cos sin 2(cos sin )故tan ，从而cos2，sin2. (8分)代入2(cos2sin2)4得25，所以交点M的极径为. (10分)解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰. (2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件练通即学即用1(2018惠州模拟)已知曲线C：(为参数)和定点A(0，)，F1，F2是此曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线AF2的极坐标方程；(2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交曲线C于M，N两点，求|MF1|NF1|的值解析：(1)曲线C：可化为1，故曲线C为椭圆，则焦点F1(1,0)，F2(1,0)所以经过点A(0，)和F2(1,0)的直线AF2的方程为x1，即xy0，所以直线AF2的极坐标方程为cos sin .(2)由(1)知，直线AF2的斜率为，因为lAF2，所以直线l的斜率为，即倾斜角为30，所以直线l的参数方程为(t为参数)，代入椭圆C的方程中，得13t212t360.因为点M，N在点F1的两侧，所以|MF1|NF1|t1t2|.2(2018长郡中学模拟)在直角坐标系中，已知曲线M的参数方程为(为参数)，在极坐标系中，直线l1的方程为1，直线l2的方程为2.(1)写出曲线M的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设l1与曲线M交于A，C两点，l2与曲线M交于B，D两点，求四边形ABCD面积的取值范围解析：(1)由(为参数)，消去参数，得曲线M的普通方程为(x1)2(y1)28，曲线M是以(1,1)为圆心，2为半径的圆(2)设|OA|1，|OC|2，O，A，C三点共线，则|AC|12|(*)，将曲线M的方程化成极坐标方程，得22(sin cos )60，代入(*)式得|AC|.用代替，得|BD|，又l1l2，S四边形ABCD|AC|BD|，S四边形ABCD2，sin220,1，S四边形ABCD8，14.授课提示：对应学生用书第159页1已知曲线C1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为4sin()，直线l的直角坐标方程为yx.(1)求曲线C1和直线l的极坐标方程；(2)已知直线l分别与曲线C1、曲线C2相交于异于极点的A，B两点，若A，B的极径分别为1，2，求|21|的值解析：(1)曲线C1的参数方程为(为参数)，其普通方程为x2(y1)21，极坐标方程为2sin .直线l的直角坐标方程为yx，故直线l的极坐标方程为(R)(2)曲线C1的极坐标方程为2sin ，直线l的极坐标方程为，将代入C1的极坐标方程得11，将代入C2的极坐标方程得24，|21|3.2(2018开封模拟)在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(t为参数)，圆C2：(x2)2y24，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求C1，C2的极坐标方程和交点A的坐标(非坐标原点)；(2)若直线C3的极坐标方程为(R)，设C2与C3的交点为B(非坐标原点)，求OAB的最大面积解析：(1)由(t为参数)得曲线C1的普通方程为yxtan ，故曲线C1的极坐标方程为(R)将xcos ，ysin 代入(x2)2y24，得C2的极坐标方程为4cos .故交点A的坐标为(4cos ，)(2)由题意知，B的极坐标为(2，)SOAB|24cos sin()|2sin(2)2|，故OAB的最大面积是22.3(2018长春模拟)以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标为(1,2)，点C的极坐标为(3，)，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以点C为圆心，3为半径(1)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|PB|.解析：(1)由题意得直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为6sin .(2)由(1)易知圆C的直角坐标方程为x2(y3)29，把代入x2(y3)29，得t2(1)t70，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，t1t27，又|PA|t1|，|PB|t2|，|PA|PB|7.4(2018唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同已知圆C1的极坐标方程为4(cos sin )，P是C1上一动点，点Q在射线OP上且满足|OQ|OP|，点Q的轨迹为C2.(1)求曲线C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；(2)已知直线l的参数方程为(t为参数，0)，l与曲线C2有且只有一个公共点，求的值解析：(1)设点P，Q的极坐标分别为(0，)，(，)，则04(cos sin )2(cos sin )，点Q的轨迹C2的极坐标方程为2(cos sin )，两边同乘以，得22(cos sin )，C2的直角坐标方程为x2y22x2y，即(x1)2(y1)22.(2)将l的参数方程代入曲线C2的直角坐标方程，得(tcos 1)2(tsin 1)22，即t22(cos sin )t0，t10，t22(sin cos )，由直线l与曲线C2有且只有一个公共点，得sin cos 0，因为0，所以.
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