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专题提能 三角与向量的创新考法与学科素养一、选择题1定义：|ab|a|b|sin ，其中为向量a与b的夹角，若|a|2，|b|5，ab6，则|ab|等于()A8B8C8或8D6解析：由|a|2，|b|5，ab6，可得25 cos 6cos .又0，所以sin .从而|ab|258.答案：B2已知外接圆半径为R的ABC的周长为(2)R，则sin Asin Bsin C()A1B1CD解析：由正弦定理知abc2R(sin Asin Bsin C)(2)R，所以sin Asin Bsin C1，故选A.答案：A3设a，b为非零向量，|b|2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成若x1y1x2y2x3y3x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为()ABCD0解析：设Sx1y1x2y2x3y3x4y4，若S的表达式中有0个ab，则S2a22b2，记为S1，若S的表达式中有2个ab，则Sa2b22ab，记为S2，若S的表达式中有4个ab，则S4ab，记为S3.又|b|2|a|，所以S1S32a22b24ab2(ab)20，S1S2a2b22ab(ab)20，S2S3(ab)20，所以S3S2S1，故SminS34ab，设a，b的夹角为，则Smin4ab8|a|2cos 4|a|2，即cos ，又0，所以.答案：B4已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|的最小值为()A5B4C3D6解析：建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则3(2，y)3(1，by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)当yb时，|3|min5.答案：A二、填空题5(2018石家庄质检)非零向量m，n的夹角为，且满足|n|m|(0)，向量组x1，x2，x3由一个m和两个n排列而成，向量组y1，y2，y3由两个m和一个n排列而成，若x1y1x2y2x3y3所有可能值中的最小值为4m2，则_.解析：由题意，x1y1x2y2x3y3的运算结果有以下两种可能：m2mnn2m2|m|m|cos2m2(21)m2；mnmnmn3|m|m|cosm2.又2121()20，所以m24m2，即4，解得.答案：6定义平面向量的一种运算ab|ab|ab|sina，b，其中a，b是a与b的夹角，给出下列命题：若a，b90，则aba2b2；若|a|b|，则(ab)(ab)4ab；若|a|b|，则ab2|a|2；若a(1,2)，b(2,2)，则(ab)b.其中真命题的序号是_解析：中，因为a，b90，则ab|ab|ab|a2b2，所以成立；中，因为|a|b|，所以(ab)，(ab)90，所以(ab)(ab)|2a|2b|4|a|b|，所以不成立；中，因为|a|b|，所以ab|ab|ab|sina，b|ab|ab|2|a|2，所以成立；中，因为a(1,2)，b(2,2)，所以ab(1,4)，sin(ab)，b，所以(a b)b3，所以不成立故真命题的序号是.答案：7设非零向量a，b的夹角为，记f(a，b)acos bsin .若e1，e2均为单位向量，且e1e2，则向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为_解析：由e1e1，可得cose1，e2，故e1，e2，e2，e1e2，e1.f(e1，e2)e1cose2sine1e2，f(e2，e1)e2cos(e1)sine1e2.f(e1，e2)f(e2，e1)(e1e2)e1e20，所以f(e1，e2)f(e2，e1)故向量f(e1，e2)与f(e2，e1)的夹角为.答案：8对任意两个非零的平面向量和，定义。.若平面向量a，b满足|a|b|0，a与b的夹角，且a。b和b。a都在集合中，则a。b_.解析：a。b，b。a.，cos 1.又|a|b|0，01.0cos 1，即0b。a1.b。a， b。a.，得(a。b)(b。a)cos2 ，(a。b)1，即1a。b2，a。b.答案：9三国魏人刘徽，自撰海岛算经，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千岁，令后表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高均为3丈的标杆BC和DE，前后标杆相距1 000步，使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H在同一直线上，从前标杆杆脚B退行123步到F，人眼著地观测到岛峰，A，C，F三点共线，从后标杆杆脚D退行127步到G，人眼著地观测到岛峰，A，E，G三点也共线，问岛峰的高度AH_步(古制：1步6尺，1里180丈1 800 尺300步)解析：如图所示，由题意知BCDE5步，BF123步，DG127步，设AHh步，因为BCAH，所以BCFHAF，所以，所以，即HF.因为DEAH，所以GDEGHA，所以，所以，即HG，由题意(HG127)(HF123)1 000，即41 000，h1 255，即AH1 255步答案：1 255三、解答题10已知下凸函数f(x)在定义域内满足f.若函数ytan x在上是下凸函数，那么在锐角ABC中，求tan Atan Btan C的最小值解析：因为ytan x在上是下凸函数，则(tan Atan Btan C)tantan ，即tan Atan Btan C3，当且仅当tan Atan Btan C，即ABC时，取等号，所以tan Atan Btan C的最小值为3.11在ABC中，边a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足2sin Bsin Asin C，设B的最大值为B0.(1)求B0的值；(2)当BB0，a3，c6，时，求CD的长解析：(1)由题设及正弦定理知，2bac，即b.由余弦定理知，cos B.当且仅当a2c2，即ac时等号成立ycos x在(0，)上单调递减，B的最大值B0.(2)BB0，a3，c6，b3，c2a2b2，即C，A，由，知ADAB2，在ACD中，由余弦定理得CD.
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