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考点规范练12函数与方程一、基础巩固1.(2018山东潍坊月考)若函数f(x)的唯一零点同时在(0,4),(0,2),(1,2),1,32内,则与f(0)符号相同的是()A.f(4)B.f(2)C.f(1)D.f32答案C解析本题实质考查二分法.由题意知f(x)的零点在1,32内,可知f(0)与f(1)符号相同.2.已知函数f(x)=2x-1,x1,1+log2x,x1,则函数f(x)的零点为()A.12,0B.-2,0C.12D.0答案D解析当x1时,由f(x)=2x-1=0,解得x=0;当x1时,由f(x)=1+log2x=0,解得x=12,又因为x1,所以此时方程无解.综上可知函数f(x)的零点只有0,故选D.3.函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案B解析函数y=ln(x+1)与y=1x的图象交点的横坐标,即为函数f(x)=ln(x+1)-1x的零点.f(x)在(0,+)上是图象连续的,且f(1)=ln2-10,f(x)的零点所在区间为(1,2).故选B.4.若函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)答案C解析因为函数f(x)=2x-2x-a在区间(1,2)上单调递增,又函数f(x)=2x-2x-a的一个零点在区间(1,2)内,所以f(1)f(2)0,所以(-a)(4-1-a)0,即a(a-3)0.所以0a0,f1+330,函数f(x)的零点个数为1,故选B.8.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x(0,+)时,f(x)=2 016x+log2 016x,则函数f(x)的零点个数是()A.1B.2C.3D.4答案C解析作出函数y=2016x和y=-log2016x的图象如图所示,可知函数f(x)=2016x+log2016x在x(0,+)内存在一个零点.f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)在x(-,0)内只有一个零点.又f(0)=0,函数f(x)的零点个数是3,故选C.9.已知偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x0,1时,f(x)=x,则关于x的方程f(x)=110x在区间0,4上解的个数是()A.1B.2C.3D.4答案D解析由f(x-1)=f(x+1),可知函数f(x)的周期T=2.x0,1时,f(x)=x,又f(x)是偶函数,f(x)的图象与y=110x的图象如图所示.由图象可知f(x)=110x在区间0,4上解的个数是4.故选D.10.函数f(x)=cos3x+6在0,的零点个数为.答案3解析令f(x)=cos3x+6=0,得3x+6=2+k,kZ,x=9+k3=(3k+1)9,kZ.则在0,的零点有9,49,79.故有3个.11.已知函数f(x)=log2(x+1),x0,-x2-2x,x0,若函数g(x)=f(x)-m有3个零点,则实数m的取值范围是.答案(0,1)解析因为函数g(x)=f(x)-m有3个零点,所以f(x)-m=0有3个根,所以y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点.画出函数y=f(x)的图象,由抛物线顶点为(-1,1),可知实数m的取值范围是(0,1).12.已知函数f(x)=x+2x,g(x)=x+ln x,h(x)=x-x-1的零点分别为x1,x2,x3,则x1,x2,x3的大小关系是.答案x1x2x3解析令y1=2x,y2=lnx,y3=-x-1,y=-x,函数f(x)=x+2x,g(x)=x+lnx,h(x)=x-x-1的零点分别为x1,x2,x3,即为函数y1=2x,y2=lnx,y3=-x-1与函数y=-x交点的横坐标,分别作出函数的图象,结合图象可得x1x2x3.二、能力提升13.已知函数f(x)=-x2+3x+a,g(x)=2x-x2,若f(g(x)0对x0,1恒成立,则实数a的取值范围是()A.-e,+)B.-ln 2,+)C.-2,+)D.-12,0答案C解析令t=g(x),x0,1,则g(x)=2xln2-2x.可知存在x0(0,1),使g(x0)=0,则函数g(x)在0,x0上单调递增,在x0,1上单调递减.故g(x)在x0,1上的值域为1,g(x0),且g(x0)=2x0-x02.故f(g(x)0可转化为f(t)0,即at2-3t.又当x00,1时,g(x0)=2x0-x022,因为(t)=t2-3t在1,2上的最大值为(1)=(2),所以(t)在1,g(x0)上的最大值为(1).所以(t)max=(1)=1-3=-2.所以a-2.故选C.14.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是()A.f(a)f(1)f(b)B.f(a)f(b)f(1)C.f(1)f(a)f(b)D.f(b)f(1)0在xR上恒成立,故函数f(x)在R上单调递增.而f(0)=e0+0-2=-10,所以函数f(x)的零点a(0,1);由题意,知g(x)=1x+10在x(0,+)内恒成立,故函数g(x)在(0,+)内单调递增.又g(1)=ln1+1-2=-10,所以函数g(x)的零点b(1,2).综上,可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的,所以f(a)f(1)f(b).故选A.15.若方程4-x2=k(x-2)+3有两个不等的实根,则k的取值范围是.答案512,34解析作出函数y1=4-x2和y2=k(x-2)+3的图象如图所示,函数y1的图象是圆心在原点,半径为2且在x轴上方的半圆(包括端点),函数y2的图象是过定点P(2,3)的直线.因为点A(-2,0),则kPA=3-02-(-2)=34.设直线PB是圆的切线,由圆心到直线的距离等于半径,得|3-2kPB|kPB2+1=2,得kPB=512.由图可知,当kPBkkPA时,两个函数图象有两个交点,即原方程有两个不等实根.故5121,2x,x1,则函数h(x)=f(x)-g(x)在区间-5,5上的零点的个数为.答案8解析f(x+1)=-f(x),f(x+2)=f(x).又x-1,1时,f(x)=x2,f(x)的图象如图所示,在同一平面直角坐标系中作出函数g(x)的图象,可见y=f(x)(-5x5)与y=2x(x1)有5个交点,y=f(x)(-5x5)与y=log3(x-1)(x1)的图象有3个交点,故共有8个交点.三、高考预测17.已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=()A.-12B.13C.12D.1答案C解析f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+ae2-x-1+e-(2-x)+1=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴.f(x)有唯一零点,f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-21+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12.
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