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第1讲坐标系考纲解读1.了解坐标系的作用，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换2.了解极坐标的基本概念，能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化(重点)3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心为极点的圆)的方程(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的必考内容. 预测2020年将会考查：极坐标与直角坐标的转化，极坐标方程化为直角坐标方程，要特别注意图象的伸缩变换. 题型为解答题，属中、低档题型.1伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：的作用下，点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标一般地，不作特殊说明时，我们认为0，可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)，则它们之间的关系为：1概念辨析(1)平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也是一一对应关系()(2)点P的直角坐标为(，)，那么它的极坐标可表示为.()(3)过极点作倾斜角为的直线的极坐标方程可表示为或.()(4)圆心在极轴上的点(a,0)处，且过极点O的圆的极坐标方程为2asin.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)设平面内伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线ysinx的方程变为()Aysin2x By3sinxCysin Dy3sin2x答案D解析由已知得代入ysinx，得ysin2x，即y3sin2x，所以ysinx的方程变为y3sin2x.(2)在极坐标系中A，B两点间的距离为_答案6解析解法一：(数形结合)在极坐标系中，A，B两点如图所示，|AB|OA|OB|6.解法二：A，B的直角坐标为A(1，)，B(2,2)，|AB|6.(3)曲线C1：与曲线C2：sin的交点坐标为_答案解析将代入sin，得sin，所以1，所以曲线C1与曲线C2的交点坐标为.(4)已知直线l的极坐标方程为2sin，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为_答案解析由2sin得2，sincos1，化为直角坐标方程得yx1即xy10，点A的直角坐标为，即(2，2)，所以点A到直线l的距离为.题型 平面直角坐标系中的伸缩变换在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x2y21变换为椭圆1.解设伸缩变换为由题知1，即2x22y21.与x2y21比较系数，得故所以伸缩变换为即先使圆x2y21上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆y21，再将该椭圆上点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆1.伸缩变换后方程的求法平面上的曲线yf(x)在变换：的作用下的变换方程的求法是将代入yf(x)，得f，整理之后得到yh(x)，即为所求变换之后的方程见举例说明提醒：应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x，y)与变换后的坐标(x，y).若函数yf(x)的图象在伸缩变换：的作用下得到曲线的方程为y3sin，求函数yf(x)的最小正周期解由题意，把变换公式代入曲线y3sin得3y3sin，整理得ysin，故f(x)sin.所以yf(x)的最小正周期为.题型 极坐标与直角坐标的互化(2018全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为yk|x|2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为22cos30.(1)求C2的直角坐标方程； (2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程解(1)由xcos，ysin，得C2的直角坐标方程为(x1)2y24.(2)由(1)知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线，曲线C1的方程为y记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，所以2，故k或k0.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，所以2，故k0或k.经检验，当k0时，l1与C2没有公共点；当k时，l2与C2没有公共点. 综上，所求C1的方程为y|x|2.条件探究把举列说明中曲线C1的极坐标方程改为“(02)”，曲线C2的极坐标方程改为“22cos2sin30”，若C1与C2有且仅有两个公共点，求的取值范围解由xcos，ysin得曲线C2的直角坐标方程为x2y22x2y30，即(x1)2(y)21，由题意知，可设曲线C1的直角坐标方程为ykx，ktan，当曲线C1与曲线C2相切时，1，解得k，即tan，又02，所以.结合图形可知，若C1与C2有且仅有两个公共点，则.1极坐标方程与直角坐标方程的互化(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式xcos及ysin直接代入直角坐标方程并化简即可(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如cos，sin，2的形式，再应用公式进行代换其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形技巧2极角的确定由tan确定角时，应根据点P所在象限取最小正角(1)当x0时，角才能由tan按上述方法确定(2)当x0时，tan没有意义，这时可分三种情况处理：当x0，y0时，可取任何值；当x0，y0时，可取；当x0，y0时，可取. 已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为2，22cos2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程解(1)由2知24，所以圆O1的直角坐标方程为x2y24.因为22cos2，所以222，所以圆O2的直角坐标方程为x2y22x2y20.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为xy1，化为极坐标方程为cossin1，即sin.题型 极坐标方程的应用角度1极径几何意义的应用1(2018日照一模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|的值解(1)将方程消去参数得x2y24x120，曲线C的普通方程为x2y24x120，将x2y22，xcos代入上式可得24cos12，曲线C的极坐标方程为24cos12.(2)设A，B两点的极坐标方程分别为，由消去得22120，根据题意可得1，2是方程22120的两根，122，1212，|AB|12|2.角度2用极坐标解最值和取值范围问题2(2018南平二模)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的方程为y21.曲线C2的参数方程为(为参数)，曲线C3的方程为yxtan，曲线C3与曲线C1，C2分别交于P，Q两点(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)求|OP|2|OQ|2的取值范围解(1)因为xcos，ysin，所以曲线C1的极坐标方程为2sin21，即2，由(为参数)，消去，即得曲线C2的直角坐标方程为x2(y1)21；将xcos，ysin，代入化简，可得曲线C2的极坐标方程为2sin.(2)曲线C3的极坐标方程为，由(1)得|OP|2；|OQ|24sin2，即|OP|2|OQ|2，因为0，所以0sin0)，点M的极坐标为(1，)(10)由题设知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的极坐标方程为4cos(0)因此C2的直角坐标方程为(x2)2y24(x0)(2)设点B的极坐标为(B，)(B0)由题设知|OA|2，B4cos，于是OAB的面积S|OA|BsinAOB4cos22.当时，S取得最大值2.所以OAB面积的最大值为2.
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