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第2章 圆锥曲线与方程章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1.平面直角坐标系xOy中，椭圆1的离心率是_.考点圆锥曲线几何性质题点离心率问题答案解析由题意可知，a2，b，c1，由椭圆的离心率e.2.双曲线1的两条渐近线的方程为_.考点圆锥曲线几何性质题点求双曲线渐近线方程答案yx解析由双曲线方程可知a4，b3，所以两条渐近线方程为yx.3.已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为yx，则该双曲线的离心率为_.考点圆锥曲线几何性质题点离心率问题答案解析设双曲线的方程为1，则它的渐近线方程为yx，故，因此离心率为e.4.双曲线x2y2a2(a0)的右焦点与抛物线y24x的焦点重合，则a_.考点圆锥曲线方程题点焦点问题答案解析双曲线x2y2a2的右焦点的坐标为(a,0)，抛物线y24x的焦点为(1,0)，从而a1，故a.5.若双曲线的顶点为椭圆x21长轴的端点，且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1，则双曲线的标准方程为_.考点圆锥曲线几何性质题点由离心率问题求曲线方程答案1解析由椭圆x21的离心率为，则双曲线的离心率为，且双曲线的顶点为(0，)，故双曲线的标准方程为1.6.双曲线x21的离心率大于的充分必要条件是_.考点圆锥曲线几何性质题点离心率问题答案m1解析由e221m2，得m1.7.如图，F1，F2是双曲线C1：x21与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点.若F1F2F1A，则椭圆C2的离心率是_.考点圆锥曲线方程题点求离心率问题答案解析由题意知，F1F2F1A4.F1AF2A2，F2A2，F1AF2A6，又F1F24，椭圆C2的离心率是.8.已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线方程为_.考点圆锥曲线几何性质题点求双曲线方程答案1解析双曲线1的渐近线方程为yx，又渐近线过点(2，)，所以，即2ba.抛物线y24x的准线方程为x，由已知得，即a2b27，联立解得a24，b23，所以双曲线方程为1.9.设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足PF1F1F2PF2432，则曲线的离心率为_.考点圆锥曲线方程题点求离心率问题答案或解析由题意可设PF14m，F1F23m，PF22m.当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2aPF1PF24m2m6m，焦距为2cF1F23m，所以离心率e；当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2aPF1PF24m2m2m，焦距为2cF1F23m，所以离心率e.故e或.10.已知二次曲线1(k3，k0)与1，则下列说法正确的是_.(填序号)有不同的顶点；有不同的准线；有相同的焦点；有相同的离心率.考点圆锥曲线方程题点几何性质判断答案解析当0k3时，则03k3，1表示实轴为x轴的双曲线，a2b23c2.两曲线有相同的焦点；当kk0，1表示焦点在x轴上的椭圆.a23k，b2k.a2b23c2，与已知椭圆有相同的焦点.综上，二次曲线1与1有相同的焦点.11.椭圆1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是_.考点圆锥曲线定义题点圆锥曲线定义的运用答案(0,3)或(0，3)解析PF1PF22a10，PF1PF2225.当且仅当PF1PF25时，取得最大值，此时P点是短轴端点，即P点坐标是(0,3)或(0，3).12.已知点A(0,2)，B(2,0).若点C在抛物线x2y的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为_.考点圆锥曲线定义题点圆锥曲线定义的运用答案4解析由已知可得AB2，要使SABC2，则点C到直线AB的距离必须为，设C(x，x2)，而lAB：xy20，所以有，所以x2x22，当x2x22时，有两个不同的C点；当x2x22时，亦有两个不同的C点.因此满足条件的C点有4个.13.过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_.答案解析椭圆1的右焦点为(1,0)，所以直线方程为y2(x1).联立得3y22y80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1，y2是3y22y80的两根，所以y12，y2.所以SOABSOFASOFBOF|y1y2|1.14.如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆1(ab0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为_.考点直线与圆锥曲线关系题点求离心率问题答案25解析直线A1B2的方程为1；直线B1F的方程为1.二者联立解得T，又M在椭圆1(ab0)上，故1，e210e30，解得e25或e25.又0eb0)，c.设双曲线方程为1，ma4.，易得a7，m3.b236，n24.椭圆的标准方程为1，双曲线的标准方程为1.若焦点在y轴上，同理可得椭圆的标准方程为1，双曲线的标准方程为1.16.(14分)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为2的直线l交抛物线于A，B两点，且AB5.(1)求此抛物线方程；(2)若M(1,2)是抛物线上一点，求的值.考点直线与抛物线的位置关系题点求抛物线方程和其他运算解(1)因为焦点坐标为F，所以直线l的方程为y2.由消去y，得4x26pxp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，ABx1x2p5，p2，抛物线方程为y24x.(2)方程化为x23x10，x1x23，x1x21，直线l的方程为y2x2，(x11，y12)(x21，y22)(x11)(x21)(y12)(y22)(x11)(x21)(2x14)(2x24)5x1x29(x1x2)17527175.17.(14分)如图，F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的上顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值.考点圆锥曲线定义题点圆锥曲线定义的运用解(1)F1AF260a2ce.(2)设BF2m，则BF12am，在BF1F2中，BFBFF1F2BF2F1F2cos120(2am)2m2a2amma.AF1B的面积为SF1ABAsin60a40a10，c5，b5.综上a10，b5.18.(16分)已知双曲线C1：x21.(1)求与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)的双曲线C2的标准方程；(2)直线l：yxm分别与双曲线C1的两条渐近线相交于A，B两点.当3时，求实数m的值.考点直线与双曲线的位置关系题点直线与双曲线位置关系的运用解(1)双曲线C1：x21，焦点坐标为(，0)，(，0).设双曲线C2的标准方程为1(a0，b0)，双曲线C2与双曲线C1有相同焦点，且过点P(4，)，解得双曲线C2的标准方程为y21.(2)双曲线C1的两条渐近线为y2x，y2x.由可得xm，y2m，A(m,2m).由可得xm，ym，B.m2m2m2.3，m23，m.19.(16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆1(ab0)的右顶点和上顶点分别为A，B，M为线段AB的中点，且b2.(1)求椭圆的离心率；(2)已知a2，四边形ABCD内接于椭圆，ABDC.记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值.考点椭圆方程与几何性质题点椭圆方程与几何性质的综合运用解(1)A(a,0)，B(0，b)，由M为线段AB的中点得M.所以，(a，b).因为b2，所以(a，b)b2，整理得a24b2，即a2b.因为a2b2c2，所以cb.所以椭圆的离心率e.(2)方法一由a2，得b1，故椭圆方程为y21.从而A(2,0)，B(0,1)，直线AB的斜率为.因为ABDC，故可设DC的方程为yxm.设D(x1，y1)，C(x2，y2).联立消去y，得x22mx2m220，所以x1x22m，从而x12mx2.直线AD的斜率k1，直线BC的斜率k2，所以k1k2，即k1k2为定值.方法二由a2，得b1，故椭圆方程为y21.从而A(2,0)，B(0,1)，直线AB的斜率为.设C(x0，y0)，则y1.因为ABCD，故CD的方程为y(xx0)y0.联立消去y，得x2(x02y0)x2x0y00，解得xx0(舍去)或x2y0.所以点D的坐标为.所以k1k2，即k1k2为定值.20.(16分)如图，已知椭圆1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，P是椭圆上一点，M在PF1上，且满足(R)，POF2M，O为坐标原点.(1)若椭圆方程为1，且P(2，)，求点M的横坐标；(2)若2，求椭圆离心率e的取值范围.考点椭圆方程与几何性质题点椭圆方程与几何性质的综合运用解(1)1，F1(2,0)，F2(2,0)，kOP，kF2M，kF1M，直线F2M的方程为y(x2)，直线F1M的方程为y(x2)，由解得x.点M的横坐标为.(2)设P(x0，y0)，M(xM，yM)，2，(x0c，y0)(xMc，yM)，M，POF2M，(x0，y0)，x0y0，即xy2cx0，联立方程消去y0，得c2x2a2cx0a2(a2c2)0，解得x0或x0，ax0a，x0(0，a)，0a2ac.综上，椭圆离心率e的取值范围为.
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