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第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式滚动训练(三)(第三讲第四讲)一、选择题1设a，bR且ab16，则的最小值是()A.B.C.D.答案A解析(ab)24，.当且仅当，即ab8时取等号2若Axxx，Bx1x2x2x3xn1xnxnx1，其中x1，x2，xn都是正数，则A与B的大小关系为()AABBABCABDAB答案C解析依数列xn的各项都是正数，不妨设0x1x2xn，则x2，x3，xn，x1为数列xn的一个排列依排序原理，得x1x1x2x2xnxnx1x2x2x3xnx1，即xxxx1x2x2x3xnx1.3用数学归纳法证明12222n12n21(nN)的过程中，在验证n1时，左端计算所得的项为()A1B12C1222D122223答案C解析当n1时，左端1222，故选C.4已知x，y，z，a，b，c，k均为正数，且x2y2z210，a2b2c290，axbycz30，abck(xyz)，则k等于()A.B.C9D3答案D解析因为x2y2z210，a2b2c290，axbycz30，所以(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2，又(a2b2c2)(x2y2z2)(axbycz)2，当且仅当k时，等号成立，则akx，bky，ckz，代入a2b2c290，得k2(x2y2z2)90，于是k3，故选D.5用数学归纳法证明不等式(n2，nN)的过程中，由nk递推到nk1不等式左边()A增加了一项B增加了两项，C增加了B中两项但减少了一项D以上各种情况均不对答案C解析nk(k2，kN)时，左边，nk1时，左边，增加了两项，少了一项.6函数y5的最大值是()A6B2C5D2答案D解析函数的定义域为1,3，且y0.由柯西不等式可得y552，当且仅当，即x时，函数取得最大值2，故选D.7若2x3y5z29，则函数的最大值为()A.B2C2D.答案C解析由柯西不等式可得(111)2(2x13y45z6)(121212)，2x3y5z29，(111)2120，2，的最大值为2.故选C.二、填空题8已知a，b，c都是正数，且2abc6，则a2abacbc的最大值为_答案9解析a，b，c都是正数，a2abacbc(ab)(ac)2.2abc6，a2abacbc9，a2abacbc的最大值为9.9已知两组数1,2,3和45,25,30，若c1，c2，c3是45,25,30的一个排列，则c12c23c3的最大值是_，最小值是_答案220180解析由排序不等式知顺序和最大，反序和最小，故所求最大值为125230345220，最小值为145230325180.10已知实数x，y，z满足2xy3z32，则的最小值为_答案解析12223214，由柯西不等式可得(221232)(x1)2(y2)2z2(2x2y23z)2322，当且仅当时，等号成立，即的最小值是.11已知a，b，c都是正数，a2b3c9，则的最小值为_答案解析(a2b3c)()2()2()221，当且仅当a3b9c时取等号，又a2b3c9，即最小值为.三、解答题12设函数y|x1|x2|的最小值为M.(1)求实数M的值；(2)若不等式M(其中a0)恒成立，求实数a的取值范围解(1)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，所以M3.(2)因为()212()2(ax2x)3(a2)，当且仅当时，等号成立，即当x2，a时，取得最大值，所以3.又a0，所以0a1.13已知函数f(x)|x1|2x2|.(1)求不等式f(x)x1的解集；(2)若f(x)的最大值是m，且a，b，c均为正数，abcm，求的最小值解(1)由已知可得或或解得0x2.故不等式的解集为0,2(2)f(x)得最大值，mf(1)2，abc2.又(abc)()2()2()2(abc)2，abc2，当且仅当abc时取等号，故的最小值是2.14已知数列an和bn，其中an135(2n1)，bn122n1，当nN时，试比较an与bn的大小，并证明你的结论解由已知得an(n1)(n1)2，bn2n1.当n1时，a14，b11，则a1b1，当n2时，a29，b23，则a2b2，当n3时，a316，b37，则a3b3，当n4时，a425，b415，则a4b4，当n5时，a536，b531，则a5b5当n6时，a649，b663，则a6b6，当n7时，a764，b7127，则a7b7，由此得到，当nN，n5时，anbn.猜想：当nN，n6时，anbn.前一结论上面已用穷举法证明，后一猜想用数学归纳法证明如下：当n6时，上面已证a6b6.假设当nk(kN，k6)时，上述结论成立，即当k6时，(k1)22k1.当nk1时，要证ak1bk1，即证(k2)22k11，只需证(k2)222k1，根据归纳假设，22k12(k1)211，所以只需证(k2)22(k1)21，即证k24k42k24k3，即证k21.因为k6，所以此式显然成立故当nk1时结论成立由可知，对任何nN，n6结论都成立
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