资源描述
第四讲 数学归纳法证明不等式专题检测试卷(四)(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1如果命题P(n)对nk成立，那么它对nk2成立，又若P(n)对n1成立，则P(n)对所有()A正整数n成立B正偶数n成立C正奇数n成立D大于1的自然数n成立答案C2若等式122232n2(5n27n4)，则()An为任何正整数时都成立B仅当n1,2,3时成立C当n4时成立，n5时不成立D仅当n4时不成立答案B解析分别用n1,2,3,4,5验证即可3用数学归纳法证明不等式12(n2，nN)时，第一步应验证不等式()A12B12C12D12答案A解析第一步验证n2时不等式成立，即12.4已知数列an中，a11，a22，an12anan1(nN)，用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，然后应该证明()Aa4k1能被4整除Ba4k2能被4整除Ca4k3能被4整除Da4k4能被4整除答案D解析假设当nk(k1，kN)时，即a4k能被4整除，然后应证明当nk1时，即a4(k1)a4k4能被4整除5设f(n)1，则f(k1)f(k)等于()A.B.C.D.答案D解析当nk(k1，kN)时，f(k)1，当nk1时，f(k1)1，所以f(k1)f(k).6用数学归纳法证明“42n13n1(nN)能被13整除”的第二步中，当nk1时为了使用归纳假设，对42k13k2变形正确的是()A16(42k13k1)133k1B442k93kC(42k13k1)1542k123k1D3(42k13k1)1342k1答案A解析假设当nk(k1，kN)时，42n13n1能被13整除，则当nk1时，42k13k21642k133k116(42k13k1)133k1.7已知123332433n3n13n(nab)c对一切nN都成立，那么a，b，c的值为()Aa，bcBabcCa0，bcDa，b，c不存在答案A解析令n等于1,2,3，得解得a，bc.8已知n为正偶数，用数学归纳法证明：12时，若已假设nk(k2且为偶数)时，等式成立，则还需要用归纳假设再证()Ank1时等式成立Bnk2时等式成立Cn2k2时等式成立Dn2(k2)时等式成立答案B解析偶数k的后继偶数为k2，故应再证nk2时等式成立二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9用数学归纳法证明coscos3cos(2n1)(sin0，nN)，在验证当n1时，等式右边的式子是_答案cos解析当n1时，右边cos.10仔细观察下列不等式：，则第n个不等式为_答案(nN)11观察下列不等式：1，11,1，12,1，由此猜测第n个不等式为_答案1(nN)解析1211,3221,7231,15241，31251，归纳第n个式子为1(nN)12设nN，f(n)5n23n11，通过计算n1,2,3,4时f(n)的值，可以猜想f(n)能被数值_整除答案8三、解答题(本大题共6小题，每小题10分，共60分)13用数学归纳法证明：当nN时，.证明(1)当n1时，左边，右边，左边右边，所以等式成立(2)假设当nk(k1，kN)时，等式成立，即.则当nk1时，.即当nk1时，等式也成立由(1)(2)可知，对一切nN等式都成立14用数学归纳法证明：f(n)352n123n1(nN)能被17整除证明(1)当n1时，f(1)353243911723，故f(1)能被17整除(2)假设当nk(k1，kN)时，命题成立即f(k)352k123k1能被17整除，则当nk1时，f(k1)352k323k452352k15223k15223k123k425f(k)1723k1.由归纳假设可知，f(k)能被17整除，又1723k1显然可被17整除，故f(k1)能被17整除综合(1)(2)可知，对任意正整数n，f(n)能被17整除15设an1(nN)，是否存在关于n的整式q(n)，使得等式a1a2a3an1q(n)(an1)对于大于1的一切正整数n都成立？证明你的结论解假设q(n)存在，探索q(n)当n2时，由a1q(2)(a21)，即1q(2)，得q(2)2.当n3时，由a1a2q(3)(a31)，即1q(3)，得q(3)3.当n4时，由a1a2a3q(4)(a41)，即1q(4)，得q(4)4.由此猜想q(n)n(n2，nN)下面用数学归纳法证明当n2且nN时，等式a1a2a3an1n(an1)成立当n2时，左边a11，右边2(a21)21，结论成立假设当nk(k2，kN)时结论成立，即a1a2a3ak1k(ak1)，则当nk1时，a1a2a3ak1akk(ak1)ak(k1)akk(k1)ak(k1)1(k1)(k1)(ak11)，所以当nk1时结论也成立由可知，对于大于1的一切正整数n，都存在q(n)n使得等式a1a2a3an1q(n)(an1)成立16如果数列an满足条件：a14，an1(n1,2，)，证明：对任何正整数n，都有an1an且an0.证明(1)由于a14，a2a1.且a10，因此，当n1时不等式成立(2)假设当nk(k1)时，ak1ak且ak0，即ak10，ak2ak10.所以当nk1时不等式也成立，由(1)(2)知，不等式对任何正整数n都成立因此，对任何正整数n，都有an1an且an0.17在数列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差数列，bn，an1，bn1成等比数列(nN)(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测an，bn的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：.(1)解由条件得2bnanan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜测ann(n1)，bn(n1)2.下面用数学归纳法证明：当n1时，由以上知结论成立假设当nk(k1，kN)时，结论成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么当nk1时，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以当nk1时，结论也成立由可知，ann(n1)，bn(n1)2对一切正整数都成立(2)证明2(n1)n.故.故原不等式成立18已知a，bR，nN.求证：n.证明(1)当n1时，显然成立(2)假设当nk(k1，kN)时，不等式成立，即k.要证nk1时，不等式成立，即证k1.在k的两边同时乘以，得k1.要证k1，只需证，因为2(ak1bk1)(ab)(akbk)2(ak1bk1)(ak1abkakbbk1)0ak1abkakbbk10(ab)(akbk)0.又ab与(akbk)同正负(或同时为0)，所以不等式(ab)(akbk)0显然成立所以当nk1时，不等式成立综合(1)(2)可知，对任何nN，不等式恒成立
展开阅读全文