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第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质一、选择题1(2018广西南宁模拟)双曲线1的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx解析：在双曲线 1中，a5，b2，而其渐近线方程为yx，其渐近线方程为yx，故选D.答案：D2已知椭圆C的方程为1(m0)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A2 B2 C8 D2解析：根据已知条件得c，则点在椭圆1(m0)上，1，可得m2.答案：B3(2018张掖模拟)双曲线1(a0，b0)的渐近线与圆x2(y2)21相切，则双曲线的离心率为()A.B.C2D3解析：双曲线1的渐近线与圆x2(y2)21相切，则圆心(0,2)到直线bxay0的距离为1，所以1，即1，所以双曲线的离心率e2，故选C.答案：C4(2017高考全国卷)已知椭圆C：1(ab0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为()A.B.C.D.解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0,0)，半径为a.由题意，圆心到直线bxay2ab0的距离为a，即a23b2.又e21，所以e.答案：A5已知双曲线1(a0，b0)的焦距为4，渐近线方程为2xy0，则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1解析：易知双曲线1(a0，b0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为2xy0，得2，因为双曲线的焦距为4，所以c2，结合c2a2b2，可得a2，b4，所以双曲线的方程为1，故选A.答案：A6(2018长春模拟)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2y21的左、右焦点，P为双曲线上任意一点，过点F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|()A1B2C4D.解析：不妨设P在双曲线的左支，如图，延长F1H交PF2于点M，由于PH既是F1PF2的平分线又垂直于F1M，故PF1M为等腰三角形，|PF1|PM|且H为F1M的中点，所以OH为MF1F2的中位线，所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1|)1.故选A.答案：A7(2018高考全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B2C.D2解析：由题意，得e，c2a2b2，得a2b2.又因为a0，b0，所以ab，渐近线方程为xy0，点(4,0)到渐近线的距离为2，故选D.答案：D8(2018石家庄一模)已知直线l：y2x3被椭圆C：1(ab0)截得的弦长为7，有下列直线：y2x3；y2x1；y2x3；y2x3.其中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()A1条B2条C3条D4条解析：易知直线y2x3与直线l关于原点对称，直线y2x3与直线l关于x轴对称，直线y2x3与直线l关于y轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.选C.答案：C9(2018洛阳模拟)设双曲线C：1的右焦点为F，过F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M，N，若d是双曲线上任意一点P到直线MN的距离，则的值为()A.B.C.D无法确定解析：双曲线C：1中，a4，b3，c5，右焦点F(5,0)，渐近线方程为yx.不妨设M在直线 yx上，N在直线yx上，则直线MF的斜率为，其方程为y(x5)，设M(t，t)，代入直线MF的方程，得t(t5)，解得t，即M(，)由对称性可得N(，)，所以直线MN的方程为x.设P(m，n)，则d|m|，1，即n2(m216)，则|PF|5m16|.故，故选B.答案：B10(2018高考全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则()A5B6 C7D8解析：由题意知直线MN的方程为y(x2)，联立直线与抛物线的方程，得解得或不妨设M为(1,2)，N为(4,4)又抛物线焦点为F(1,0)，(0,2)，(3,4)，03248.故选D.答案：D11(2018广西五校联考)已知点F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F2且垂直于x轴的直线与双曲线交于M，N两点，若10，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(，1)B(1，1)C(1，)D(，)解析：设F1(c,0)，F2(c,0)，依题意可得1，得到y，不妨设M，N，则114c20，得到4a2c2(c2a2)20，即a4c46a2c20，故e46e210，解得32e232，又e1，所以1e232，解得1e1答案：B12(2018南昌模拟)抛物线y28x的焦点为F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上的两个动点，若x1x24|AB|，则AFB的最大值为()A.B.C.D.解析：由抛物线的定义可得|AF|x12，|BF|x22，又x1x24|AB|，得|AF|BF|AB|，所以|AB|(|AF|BF|)所以cosAFB2，而0AFB，所以AFB的最大值为.答案：D二、填空题13(2018成都模拟)已知双曲线1(a0)和抛物线y28x有相同的焦点，则双曲线的离心率为_解析：易知抛物线y28x的焦点为(2,0)，所以双曲线1的一个焦点为(2,0)，则a2222，即a，所以双曲线的离心率e.答案：14(2018武汉调研)双曲线：1(a0，b0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则的实轴长等于_解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线yx，即axby0的距离为b3，所以a4,2a8.答案：815(2018唐山模拟)过抛物线y22px(p0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|2|BF|6，则p_.解析：设AB的方程为xmy，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，将直线AB的方程代入抛物线方程得y22pmyp20，所以y1y2p2,4x1x2p2.设抛物线的准线为l，过A作ACl，垂足为C，过B作BDl，垂足为D，因为|AF|2|BF|6，根据抛物线的定义知，|AF|AC|x16，|BF|BD|x23，所以x1x23，x1x29p，所以(x1x2)2(x1x2)24x1x2p2，即18p720，解得p4.答案：416(2017高考全国卷改编)设A，B是椭圆C：1长轴的两个端点若C上存在点M满足AMB120，则m的取值范围是_解析：当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即 ，解得0m1.当m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足AMB120，则tan 60，即，解得m9.故m的取值范围为(0,19，)答案：(0,19，)三、解答题17(2018辽宁五校联考)已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为b.(1)求椭圆C的方程；(2)设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线xm于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值解析：(1)由题意得F1(c,0)，F2(c,0)，B(0，b)，则2a2c6，直线BF2的方程为bxcybc0，所以b，即2ca，又a2b2c2，所以由可得a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)不妨设A1(2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，则直线A1P的方程为y(x2)，所以M(m，(m2)，又点P在椭圆C上，所以y3(1)，若以MP为直径的圆过点A2，则A2MA2P，0，所以(m2，(m2)(x02，y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)(m)0.又点P不同于点A1，A2，所以x02，所以m14.18(2018广州模拟)如图，在直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的上焦点为F1，椭圆C的离心率为，且过点(1，)(1)求椭圆C的方程；(2)设过椭圆C的上顶点A的直线l与椭圆C交于点B(B不在y轴上)，垂直于l的直线与l交于点M，与x轴交于点H，若0，且|MO|MA|，求直线l的方程解析：(1)因为椭圆C的离心率为，所以，即a2c.又a2b2c2，所以b23c2，即b2a2，所以椭圆C的方程为1.把点(1，)代入椭圆C的方程中，解得a24.所以椭圆C的方程为1.(2)由(1)知，A(0,2)，设直线l的斜率为k(k0)，则直线l的方程为ykx2，由得(3k24)x212kx0.设B(xB，yB)，得xB，所以yB，所以B(，)设M(xM，yM)，因为|MO|MA|，所以点M在线段OA的垂直平分线上，所以yM1，因为yMkxM2，所以xM，即M(，1)设H(xH,0)，又直线HM垂直于直线l，所以kMH，即.所以xHk，即H(k，0)又F1(0,1)，所以(，)，(k，1)因为0，所以(k)0，解得k.所以直线l的方程为yx2.
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