2018-2019学年高二数学 寒假训练10 空间向量与立体几何 理.docx

寒假训练10空间向量与立体几何2018中山一中如图所示，在四棱锥中，（1）证明：平面平面；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：，平面又平面，平面平面（2）以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，设平面的法向量为，则，即，令，解得，即，显然平面的一个法向量为，二面角的余弦值为一、选择题12018浙江学考对于空间向量，若，则实数（）ABC1D222018黔东南州期末在空间中，点关于平面对称的点为，点到平面的距离为（）AB1C2D332018台州期中在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD42018浙江模拟如图，在平行六面体中，为，的交点若，则向量（）ABCD52018眉山一中已知，则下列向量是平面法向量的是（）ABCD62018眉山一中若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于（）ABCD或72018吉安期末已知点，点，若平面，则点的坐标为（）ABCD82018深圳模拟在如图所示的坐标系中，为正方体，给出下列结论:直线的一个方向向量为；直线的一个方向向量为；平面的一个法向量为；平面的一个法向量为其中正确的个数为（）A1B2C3D492018临汾一中如图，在正方体中，若是线段上的动点，则下列结论不正确的是（）A三棱锥的正视图面积是定值B异面直线，所成的角可为C异面直线，所成的角为D直线与平面所成的角可为102018兰州期中在正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）ABCD112018贵州调研已知为正方体，则二面角的余弦值为（）ABCD122018书生中学如图，在长方体中，点在棱上，且，则当的面积最小时，棱的长为（）ABC2D二、填空题132018醴陵二中已知向量，若平面，则的值是_142018定远县期中如图，在正方体中，有下面结论：平面；平面；与底面所成角的正切值是；与为异面直线其中正确的结论的序号是_152018浙东北期中在正方体中，异面直线与的所成角为_，二面角的大小为_162018佛山一中如图，在正方体中，点为线段的中点设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是_三、解答题172018西宁四中如图，已知矩形所在平面外一点，平面，、分别是、的中点（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求与平面所成的角的大小182018百色调研如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，为直角三角形且，是等边三角形（1）求证：；（2）若，求二面角的正弦值寒假训练10空间向量与立体几何一、选择题1【答案】D【解析】空间向量，若，则，故选D2【答案】C【解析】设所求的点为，点与点关于平面的对称，、两点的横坐标和纵坐标相等，而竖坐标互为相反数，即，得坐标为点到平面的距离为2故选C3【答案】B【解析】以为原点，为轴、为轴、为轴，建立空间直角坐标系，在长方体中，设异面直线与所成角的为，则，异面直线与所成角的余弦值为，故选B4【答案】A【解析】由题意，向量故选A5【答案】B【解析】，设平面的法向量为，则，取，则，与共线的向量为，故选B6【答案】B【解析】设直线与平面所成的角为，则，故选B7【答案】C【解析】，解得故选C8【答案】C【解析】，故正确；，故正确；直线平面，故正确；点的坐标为，与平面不垂直，故错故选C9【答案】D【解析】对于，三棱锥的主视图为三角形，底边为的长，高为正方体的高，故棱锥的主视图面积不变，故A正确；对于，分别以，为坐标轴，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体边长为1，当时，方程有解，异面直线，所成的角可为，故B正确对于，连结，则，又，于是平面，平面，故C正确；对于，结合中的坐标系，可得面的法向量为，令，方程无解，即直线与平面所成的角可为是错误的，故选D10【答案】B【解析】以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，设平面的法向量为，令，则，设直线与平面所成角为，则，故选B11【答案】C【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则，设平面的法向量为，则，令，得，设平面的法向量为，则，令，得，设二面角的夹角为，则故选C12【答案】A【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，设，即，当且仅当，时取等号，故选A二、填空题13【答案】【解析】平面，存在事实，使得，解得故答案为14【答案】【解析】平面，平面错误，错误连结，则，又面，故，故面，进而得到，同理可证，又于点，故得到平面，正确在底面的射影为，是与底面所成的角，设正方体的边长为，则，正确由异面直线的定义可知，与为异面直线，正确故答案为15【答案】；【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，则，设异面直线与的所成角为，则，异面直线与的所成角为，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的大小为，则，二面角的大小为故答案为；16【答案】【解析】由题意可得：直线于平面所成的角的取值范围是，不妨取在中，的取值范围是三、解答题17【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】（1）证明：如图，建立空间直角坐标系，则，为的中点，为的中点，与，共面，平面，平面；（2）证明：，；（3）解：，平面，是平面的法向量，与平面所成的角为18【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：取中点，连，为等边三角形，又，平面，又平面，（2）解：，为中点，结合题设条件可得，如图，以，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，得，设平面的一个法向量，则，即，设平面的一个法向量，由，即，设二面角的平面角为，则由图可知，