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专题07 碰撞与动量守恒理解动量、动量变化量的概念；知道动量守恒的条件；会利用动量守恒定律分析碰撞、反冲等相互作用问题。本专题综合应用动力学、动量和能量的观点来解决物体运动的多过程问题,是高考的重点和热点，命题情景新，联系实际密切，综合性强，侧重在计算题中命题，是高考的压轴题.动量和动量的变化量这两个概念常穿插在动量守恒定律的应用中考查；动量守恒定律的应用是本部分的重点和难点，也是高考的热点；动量守恒定律结合能量守恒定律来解决碰撞、打击、反冲等问题，以及动量守恒定律与圆周运动、核反应的结合已成为近几年高考命题的热点。本专题在高考中主要以两种命题形式出现：一是综合应用动能定理、机械能守恒定律和动量守恒定律，结合动力学方法解决多运动过程问题；二是运用动能定理和能量守恒定律解决电场、磁场内带电粒子运动或电磁感应问题.由于本专题综合性强，因此要在审题上狠下功夫，弄清运动情景，挖掘隐含条件，有针对性的选择相应的规律和方法.【备考建议】【经典例题】考点一：冲量与动量变化的计算【典例1】【2017新课标卷】（多选）一质量为2 kg的物块在合外力F的作用下从静止开始沿直线运动。F随时间t变化的图线如图所示，则： （ ）At=1 s时物块的速率为1 m/sBt=2 s时物块的动量大小为4 kgm/sCt=3 s时物块的动量大小为5 kgm/sDt=4 s时物块的速度为零【答案】AB【解析】由动量定理有Ft=mv，解得，t=1 s时物块的速率，A正确；Ft图线与时间轴所围面积表示冲量，所以t=2 s时物块的动量大小为，B正确；t=3 s时物块的动量大小为，C错误；t=4 s时物块的动量大小为，速度不为零，D错误。【名师点睛】求变力的冲量是动量定理应用的重点，也是难点。Ft图线与时间轴所围面积表示冲量。考点二动量定理的理解与应用【典例2】(2018吉林长春质检)“蹦床”已成为奥运会的比赛项目.质量为m的运动员从床垫正上方h1高处自由落下,落垫后反弹的高度为h2,设运动员每次与床垫接触的时间为t,求在运动员与床垫接触的时间内运动员对床垫的平均作用力.(空气阻力不计,重力加速度为g) 考点三动量守恒的判断与动量守恒定律的理解【典例3】(2018安徽淮南模拟)(多选)如图所示,在光滑的水平面上放有一物体M,物体上有一光滑的半圆弧轨道,轨道半径为R,最低点为C,两端A,B等高,现让小滑块m从A点由静止下滑,在此后的过程中,则( )A.M和m组成的系统机械能守恒,动量守恒B.M和m组成的系统机械能守恒,动量不守恒C.m从A到C的过程中M向左运动,m从C到B的过程中M向右运动D.m从A到C的过程中,M向左运动,m从C到B的过程中M向左运动考点四 “子弹打木块”类问题的综合分析【典例4】 (2018四川乐山市检测)如图所示,质量为3m、长度为L的木块置于光滑的水平面上,质量为m的子弹以初速度v0水平向右射入木块,穿出木块的速度为v0,设木块对子弹的阻力始终保持不变.(1)求子弹穿透木块后,木块速度的大小;(2)求子弹穿透木块的过程中,木块滑行的距离s;(3)若改将木块固定在水平传送带上,使木块始终以某一恒定速度(小于v0)水平向右运动,子弹仍以初速度v0水平向右射入木块.如果子弹恰能穿透木块,求此过程所经历的时间.【解析】(1)由动量守恒定律得mv0=mv0+3mv,解得v=.【解析】(2)对子弹,由动能定理得-Ff(s+L)=m(v0)2-m对木块,由动能定理得Ffs=3mv2联立解得Ff=,s=.【解析】(3)对子弹,由动量定理得-Fft=m(u-v0),由动能定理得Ff(ut+L)=m(-u2)联立解得t=.考点五 “弹簧类”问题的综合分析【典例5】 (2018山东烟台模拟)如图所示,光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A,B,C.B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计).设A以速度v0朝B运动,压缩弹簧;当A,B速度相等时,B与C恰好相碰并粘连在一起,然后继续运动.假设B和C碰撞过程时间极短.求从A开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中.(1)整个系统损失的机械能;(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势能【解析】(2)由式可知,v2v1,A将继续压缩弹簧,直至A,B,C三者速度相同,设此速度为v3,此时弹簧被压缩至最短,其弹性势能为Ep,由动量守恒和能量守恒定律得mv0=3mv3 m-E=(3m)+Ep联立式解得Ep=m.考点六 “滑块滑板”类问题的综合分析【典例6】 (2018河北衡水模拟)如图所示,在光滑的水平面上放置一个质量为2m的木板B,B的左端放置一个质量为m的物块A,已知A,B之间的动摩擦因数为,现有质量为m的小球以水平速度v0飞来与物块A碰撞后立即粘住,在整个运动过程中物块A始终未滑离木板B,且物块A可视为质点,求:(1)物块A相对木板B静止后的速度大小;(2)木板B至少多长.【解析】(1)设小球和物块A碰撞后二者的速度为v1,三者相对静止后速度为v2,规定向右为正方向,根据动量守恒得mv0=(m+m)v1,(m+m)m1=(m+m+2m)v2,联立解得v2=0.25v0.考点七动量守恒定律的应用【典例7】(2018江南十校联考)如图所示,甲车质量m1=20 kg,车上有质量M=50 kg的人,甲车(连同车上的人)以v=3 m/s的速度向右滑行.此时质量m2= 50 kg的乙车正以v0=1.8 m/s的速度迎面滑来,为了避免两车相撞,当两车相距适当距离时,人从甲车跳到乙车上,求人跳出甲车的水平速度u(相对地面)应当在什么范围以内才能避免两车相撞?(不计地面和小车间的摩擦,设乙车足够长,取g=10 m/s2)【解析】以人、甲车、乙车组成的系统为研究对象,设甲车、乙车与人具有相同的速度v, 由动量守恒得(m1+M)v-m2v0=(m1+m2+M)v解得v=1 m/s.以人与甲车为一系统,人跳离甲车过程动量守恒,得(m1+M)v=m1v+Mu,解得u=3.8 m/s.因此,只要人跳离甲车的速度u3.8 m/s,就可避免两车相撞.答案:u3.8 m/s【典例8】动量守恒定律的应用(2016全国卷,35)如图所示,水平地面上有两个静止的小物块a和b,其连线与墙垂直;a和b相距l;b与墙之间也相距l;a的质量为m,b的质量为m,两物块与地面间的动摩擦因数均相同,现使a以初速度v0向右滑动,此后a与b发生弹性碰撞,但b没有与墙发生碰撞,重力加速度大小为g,求物块与地面间的动摩擦因数满足的条件.联立解得a与b发生弹性碰撞,但b没有与墙发生碰撞的条件是.考点八 动量守恒中的临界问题【典例9】两质量分别为M1和M2的劈A和B,高度相同,放在光滑水平面上,A和B的倾斜面都是光滑曲面,曲面下端与水平面相切,如图所示.一质量为m的物块位于劈A的倾斜面上,距水平面的高度为h.物块从静止滑下,然后滑上劈B.求物块在B上能够达到的最大高度.考点九 弹性碰撞与非弹性碰撞【典例10】 (2018河北唐山质检)在光滑的水平面上,质量为m1的小球A以速率v0向右运动.在小球A的前方O点处有一质量为m2的小球B处于静止状态,如图所示.小球A与小球B发生正碰后小球A,B均向右运动.小球B被在Q点处的墙壁弹回后与小球A在P点相遇,PQ=1.5PO.假设小球间的碰撞及小球与墙壁之间的碰撞都是弹性的,求两小球质量之比.【典例11】(2015全国卷,35)两滑块a,b沿水平面上同一条直线运动,并发生碰撞;碰撞后两者粘在一起运动;经过一段时间后,从光滑路段进入粗糙路段.两者的位置x随时间t变化的图像如图所示.求:(1)滑块a,b的质量之比;【解析】(1)设a,b的质量分别为m1、m2,a、b碰撞前的速度为v1,v2.由题给图像得v1=-2 m/s,v2=1 m/sa,b发生完全非弹性碰撞,碰撞后两滑块的共同速度为v.由题给图像得v= m/s由动量守恒定律得m1v1+m2v2=(m1+m2)v联立并代入数据解得m1m2=18;(2)整个运动过程中,两滑块克服摩擦力做的功与因碰撞而损失的机械能之比.考点十 多物体碰撞问题【典例12】(2018大连模拟)如图所示,AOB是光滑水平轨道,BC是半径为R的光滑的固定圆弧轨道,两轨道恰好相切.质量为M的小木块静止在O点,一个质量为m的子弹以某一初速度水平向右射入小木块内,并留在其中和小木块一起运动,且恰能到达圆弧轨道的最高点C(木块和子弹均可以看成质点).求:(1)子弹射入木块前的速度;【解析】(1)第一颗子弹射入木块的过程,系统动量守恒,以子弹的初速度方向为正方向,由动量守恒定律得mv0=(m+M)v1,系统由O到C的运动过程中机械能守恒,由机械能守恒定律得(m+M)=(m+M)gR由以上两式解得v0=.(2)若每当小木块返回到O点或停止在O点时,立即有相同的子弹射入小木块,并留在其中,则当第9颗子弹射入小木块后,小木块沿圆弧轨道能上升的最大高度为多少?【解析】(2)由动量守恒定律可知,第2,4,6颗子弹射入木块后,木块的速度为0,第1,3,5颗子弹射入后,木块运动.当第9颗子弹射入木块时,以子弹初速度方向为正方向,由动量守恒定律得mv0=(9m+M)v9,设此后木块沿圆弧上升的最大高度为H,由机械能守恒得(9m+M)=(9m+M)gH由以上各式可得H=()2R. 考点十一 爆炸及反冲运动【典例13】(2018山东潍坊模拟)如图所示,质量相等的木块A,B间夹有一小块炸药,放在一段粗糙程度相同的水平地面上.让A,B以速度v0一起从O点滑出,到达P点后速度变为,此时炸药爆炸使木块A,B脱离,发现木块B立即停在原位置,木块A继续水平前进.如果仍让A,B以速度v0一起从O点滑出,当A,B停止运动时立即让炸药爆炸,则木块A最终静止在Q点(图中未标出).已知O,P两点间的距离为s,炸药的质量可以忽略不计,爆炸时间很短可以忽略不计,爆炸释放的化学能全部转化为木块的动能,求木块A从O运动到Q所用的时间.解以上各式得t=t1+t2=.考点十二 “人船模型”问题【典例14】(2018安徽合肥模拟)如图所示,质量为M、半径为R的圆环,静止在光滑水平面上,有一质量为m的滑块从与环心O等高处开始无初速度下滑到达最低点时,关于圆环的位移,下列说法中正确的是( )A.B.C.D.不确定,与环和滑块之间是否存在摩擦力有关【走进高考】1.(2018河北邢台模拟)(多选)木块a和b用一根轻弹簧连接起来,放在光滑水平面上,a紧靠在墙壁上,在b上施加向左的水平力使弹簧压缩,如图所示,当撤去外力后,下列说法中正确的是( )A.a尚未离开墙壁前,a和b组成的系统动量守恒B.a尚未离开墙壁前,a和b组成的系统动量不守恒C.a离开墙壁后,a和b组成的系统动量守恒D.a离开墙壁后,a和b组成的系统动量不守恒2.小球质量为2m，以速度v沿水平方向垂直撞击墙壁，球被反方向弹回速度大小是v，球与墙撞击时间为t，在撞击过程中，球对墙的平均冲力大小是A. B. C. D. 3下列说法中正确的是（）A. 冲量的方向一定和动量的方向相同B. 动量变化量的方向一定和动量的方向相同C. 物体的末动量方向一定和它所受合外力的冲量方向相同D. 冲量是物体动量变化的原因4如图所示，两个质量和速度均相同的子弹分别水平射入静止在光滑水平地面上质量相同、材料不同的两矩形滑块A、B中，射入A中的深度是射入B中深度的两倍上述两种射入过程相比较A. 射入滑块A的子弹速度变化大 B. 整个射入过程中两滑块受的冲量一样大，木块对子弹的平均阻力一样大C. 射入滑块A中时阻力对子弹做功是射入滑块B中时的两倍D. 两个过程中系统产生的热量相同5.(多选)一物体静止在粗糙水平面上，某时刻受到一沿水平方向的恒定拉力作用开始沿水平方向做直线运动，已知在第1 s内合力对物体做的功为45 J，在第1 s末撤去拉力，物体整个运动过程的vt图象如图7所示，g取10 m/s2，则()图7A.物体的质量为5 kgB.物体与水平面间的动摩擦因数为0.1C.第1 s内摩擦力对物体做的功为60 JD.第1 s内拉力对物体做的功为60 J6.(多选)如图8所示，用高压水枪喷出的强力水柱冲击右侧的煤层。设水柱直径为D，水流速度为v，方向水平，水柱垂直煤层表面，水柱冲击煤层后水的速度为零。高压水枪的质量为M，手持高压水枪操作，进入水枪的水流速度可忽略不计，已知水的密度为。下列说法正确的是()图8A.高压水枪单位时间喷出的水的质量为vD2B.高压水枪的功率为D2v3 x.k+wC.水柱对煤层的平均冲力为D2v2D.手对高压水枪的作用力水平向右7如图所示，一水平方向的传送带以恒定速度v=2m/s沿顺时针方向匀速转动，传送带右端固定着一光滑的四分之一圆弧轨道，并与圆弧下端相切。一质量为m=1kg的物体自圆弧轨道的最高点由静止滑下，圆弧轨道的半径为R=0.45m，物体与传送带之间的动摩擦因数为=0.2，不计物体滑过圆弧轨道与传送带交接处时的能量损失，传送带足够长，g取10m/s2。求：(1)物体第一次滑到圆弧轨道下端时，对轨道的压力大小FN；(2)物体从第一次滑上传送带到离开传送带的过程中，摩擦力对传送带做的功W，以及由于摩擦而产生的热量Q。8.如图所示为某种弹射装置的示意图，该装置由三部分组成，传送带左边是足够长的光滑水平面，一轻质弹簧左端固定，右端连接着质量M=6.0kg的物块A。装置的中间是水平传送带，它与左右两边的台面等高，并能平滑对接。传送带的皮带轮逆时针匀速转动，使传送带上表面以u=2.0m/s匀速运动。传送带的右边是一半径R=1.25m位于竖直平面内的光滑1/4圆弧轨道。质量m=2.0kg的物块B从1/4圆弧的最高处由静止释放。已知物块B与传送带之间的动摩擦因数=0.1，传送带两轴之间的距离l=4.5m。设物块A、B之间发生的是正对弹性碰撞，第一次碰撞前，物块A静止。取g=10m/s2。求：（1）物块B滑到1/4圆弧的最低点C时对轨道的压力；（2）物块B与物块A第一次碰撞后弹簧的最大弹性势能；（3）如果物块A、B每次碰撞后，物块A再回到平衡位置时弹簧都会被立即锁定，而当它们再次碰撞前锁定被解除，求物块B经第一次与物块A碰撞后在传送带上运动的总时间。9.(2017云南昆明二模)课外科技小组制作一只“水火箭”,用压缩空气压出水流使火箭运动.假如喷出的水流流量保持为210-4m3/s,喷出速度保持为对地10 m/s.启动前火箭总质量为1.4 kg,则启动2 s末火箭的速度可以达到多少?已知火箭沿水平轨道运动阻力不计,水的密度是103 kg/m3.10.(2017天津卷,10)如图所示,物块A和B通过一根轻质不可伸长的细绳相连,跨放在质量不计的光滑定滑轮两侧,质量分别为mA=2 kg,mB=1 kg.初始时A静止于水平地面上,B悬于空中.现将B竖直向上再举高h=1.8 m(未触及滑轮),然后由静止释放.一段时间后细绳绷直,A,B以大小相等的速度一起运动,之后B恰好可以和地面接触.取g=10 m/s2,空气阻力不计.求:(1) B从释放到细绳刚绷直时的运动时间t;(2)A的最大速度v的大小;(3)初始时B离地面的高度H.11.(2018四川南充模拟)如图所示,质量为M的滑块静止在光滑的水平桌面上,滑块的光滑弧面底部与桌面相切,一质量为m的小球以速度v0向滑块滚来,设小球不能越过滑块,求:(1)小球到达最高点时小球和滑块的速度分别为多少?(2)小球上升的最大高度.12.(2018河北唐山模拟)如图所示,一轻质弹簧的一端固定在滑块B上,另一端与滑块C接触但不连接,该整体静止在光滑水平地面上,并且C被锁定在地面上.现有一滑块A从光滑曲面上离地面h高处由静止开始下滑,与滑块B发生碰撞并粘连在一起压缩弹簧,当速度减为碰后速度一半时滑块C解除锁定.已知mA=m,mB=2m,mC=3m.求:(1)滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度;(2)被压缩弹簧的最大弹性势能.【参考答案】1.【解析】当撤去外力F后,a尚未离开墙壁前,系统受到墙壁的作用力,系统所受的外力之和不为零,所以a和b组成的系统的动量不守恒,选项A错误,B正确;a离开墙壁后,系统所受的外力之和为0,所以a,b组成的系统的动量守恒,选项C正确,D错误.2.【答案】C【解析】设初速度方向为正，则弹后的速度为-；则由动量定理可得：Ft=-2m-2mv解得：F=；负号表示力的方向与初速度方向相反；由牛顿第三定律可知，球对墙的平均冲击力为F=F=；故选C 3.【答案】D4.【答案】D【解析】A、根据动量守恒定律可得，可知两种情况下木块和子弹的共同速度相同，两颗子弹速度变化相同，故A错误；B、两滑块的动量变化相同，受到的冲量相同，由，射入A中的深度是射入B中深度的两倍，射入滑块A中时平均阻力对子弹是射入滑块B中时的倍，故B错误；C、射入滑块A中时阻力对子弹做功与射入滑块B中时阻力对子弹做功相等，故C错误； D、由，两个过程中系统产生的热量相同，故D正确；故选D。5.【答案】（BD6【解析】设t时间内，从水枪喷出的水的体积为V，质量为m，则mV，VSvtD2vt，单位时间喷出水的质量为vD2，选项A错误；t时间内水枪喷出的水的动能Ekmv2D2v3t，由动能定理知高压水枪在此期间对水做功为WEkD2v3t，高压水枪的功率PD2v3，选项B正确；考虑一个极短时间t，在此时间内喷到煤层上水的质量为m，设煤层对水柱的作用力为F，由动量定理得Ftmv，t时间内冲到煤层水的质量mD2vt，解得FD2v2，由牛顿第三定律可知，水柱对煤层的平均冲力为FFD2v2，选项C正确；当高压水枪向右喷出高压水流时，水流对高压水枪的作用力向左，由于高压水枪有重力，根据平衡条件，手对高压水枪的作用力方向斜向右上方，选项D错误。【答案】BC7.【答案】（1）30N（2）-10J；12.5J【解析】(1) 根据动能定理：解得：v1=3m/s 在轨道最低点：由牛顿第三定律FN=N=30N (2) 物体从第一次滑上传送带到离开传送带的过程中，由定律定理：，t=2.5s 摩擦力对传送带做的功摩擦而产生的热8.【答案】（1）F1=60N，方向竖直向下（2）12J（3）8smvmv1Mv2 mv2mv12Mv22（动量守恒、能量守恒）解得v1=-2m/s，v2=2m/s 弹簧具有的最大弹性势能等于物块M的初动能EP=Mv22=12J （3）碰撞后物块B沿水平台面向右匀速运动。设物块B在传送带上向右运动的最大位移为l，由动能定理得：mgl=0mv12得l2m4.5m 所以物块B不能通过传送带运动到右边的曲面上当物块B在传送带上向右运动的速度为零后，将会沿传送带向左加速运动可以判断，物块B运动到左边台面时的速度大小为v12m/s，继而与物块A发生第二次碰撞设第1次碰撞到第2次碰撞之间，物块B在传送带运动的时间为t1。解得同上计算可知物块B与物块A第三次碰撞、第四次碰撞第n次碰撞后物块B在传送带运动的时间为tn=s, 构成无穷等比数列，公比q=由无穷等比数列求和公式可知，当n时，有物块B经第一次与物块A碰撞后在传送带运动的总时间为t总=8s 9.【解析】2 s内喷出的水的质量m=V=t=103210-42 kg=0.4 kg,火箭的质量M=m总-m=(1.4-0.4)kg=1.0 kg根据题意,水火箭喷水过程中沿水流方向动量守恒,选择水流的方向为正方向,得mv1+Mv2=0所以v2=-=-4 m/s. 10.【解析】(1)B从释放到细绳刚绷直前做自由落体运动,有h=gt2代入数据解得t=0.6 s.设为v,根据动量守恒定律有mv0=(M+m)v整个过程中机械能没有损失,设上升的最大高度是h,根据系统机械能守恒,则有m=(M+m)v2+mgh解得v=,h=.12.【解析】(1)滑块A下滑过程中机械能守恒,设A到达水平面时速度为v1,由机械能守恒定律有mAgh=mA,解得v1=.滑块A,B碰撞过程中动量守恒,设滑块A与滑块B碰撞结束瞬间的速度为v2,由动量守恒定律有mAv1=(mA+mB)v2,解得v2=.【解析】(2)滑块C解除锁定后,滑块A,B继续压缩弹簧,被压缩弹簧的弹性势能最大时,滑块A,B,C速度相
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