2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何初步 第6讲 平行、垂直的综合问题分层演练 文.doc

第6讲 平行、垂直的综合问题1.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知ADE是ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是()动点A在平面ABC上的射影在线段AF上；BC平面ADE；三棱锥AFED的体积有最大值AB.C D解析：选C.中由已知可得平面AFG平面ABC，所以点A在平面ABC上的射影在线段AF上BCDE，根据线面平行的判定定理可得BC平面ADE.当平面ADE平面ABC时，三棱锥AFED的体积达到最大，故选C.2如图所示，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC解析：选D.因为在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，所以BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，所以平面ADC平面ABC.3如图，四边形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是()AACBDBBAC90CCA与平面ABD所成的角为30D四面体ABCD的体积为解析：选B.若A成立可得BDAD，产生矛盾，故A不正确；由题设知：BAD为等腰Rt，CD平面ABD，得BA平面ACD，于是B正确；由CA与平面ABD所成的角为CAD45知C不正确；VABCDVCABD，D不正确故选B.4在直角梯形ABCD中，AB2，CDCB1，ABC90，平面ABCD外有一点E，平面ADE平面ABCD，AEED1.(1)求证：AEBE；(2)求点C到平面ABE的距离解：(1)证明：在直角梯形ABCD中，BD，AD，又AD，所以AEED.因为AB2AD2BD2，所以ADBD，因为平面ADE平面ABCD，且交线为AD，ADBD.所以BD平面ADE.因为AE平面ADE，所以BDAE.因为AEBD，AEED，BDDED，所以AE平面BDE，因为BE平面BDE，所以AEBE.(2)如图，过点E作EMAD，交AD于M.因为平面ADE平面ABCD，所以EM平面ABCD.设点C到平面ABE的距离为h，EM，SABCABBC211，SABEEBAE1.因为VEABCVCABE，所以1h，所以h，所以点C到平面ABE的距离为.5(2019太原模拟)如图，在几何体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，BE平面ABCD，DFBE，且DF2BE2，EF3.(1)证明：平面ACF平面BEFD.(2)若cosBAD，求几何体ABCDFE的体积解：(1)证明：因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，因为BE平面ABCD，所以BEAC.所以AC平面BEFD.所以平面ACF平面BEFD.(2)设AC与BD的交点为O，ABa(a0)，由(1)得AC平面BEFD，因为BE平面ABCD，所以BEBD，因为DFBE，所以DFBD，所以BD2EF2(DFBE)28，所以BD2，所以S四边形BEFD(BEDF)BD3，因为cosBAD，所以BD2AB2AD22ABADcosBADa28，所以a，所以OA2AB2OB23，所以OA，所以VABCDFE2VABEFDS四边形BEFDOA2.6(2017高考全国卷)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD.(1)证明：ACBD；(2)已知ACD是直角三角形，ABBD.若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比解：(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO.因为ADCD，所以ACDO.又由于ABC是正三角形，所以ACBO.从而AC平面DOB，故ACBD.(2)连接EO.由(1)及题设知ADC90，所以DOAO.在RtAOB中，BO2AO2AB2.又ABBD，所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2，故DOB90.由题设知AEC为直角三角形，所以EOAC.又ABC是正三角形，且ABBD，所以EOBD.故E为BD的中点，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.1(2019郑州第二次质量检测)如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AMCDAB1，M为AB的三等分点现将AMD沿MD折起，使平面AMD平面MBCD，连接AB，AC.(1)在AB边上是否存在点P，使AD平面MPC?(2)当点P为AB边的中点时，求点B到平面MPC的距离解：(1)当APAB时，有AD平面MPC.理由如下：连接BD交MC于点N，连接NP.在梯形MBCD中，DCMB，因为ADB中，所以ADPN.因为AD平面MPC，PN平面MPC，所以AD平面MPC.(2)因为平面AMD平面MBCD，平面AMD平面MBCDDM，平面AMD中AMDM，所以AM平面MBCD.所以VPMBCSMBC21.在MPC中，MPAB，MC，又PC，所以SMPC.所以点B到平面MPC的距离为d.2.如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1，点O1为B1D1的中点(1)求证：AB1平面A1O1D.(2)若ABAA1，在线段BB1上是否存在点E使得A1CAE？若存在，求出；若不存在，说明理由解：(1)证明：如图所示，连接AD1交A1D于点G，所以G为AD1的中点连接O1G.在AB1D1中，因为O1为B1D1的中点，所以O1GAB1.因为O1G平面A1O1D，且AB1平面A1O1D，所以AB1平面A1O1D.(2)若在线段BB1上存在点E使得A1CAE，连接A1B交AE于点M.因为BC平面ABB1A1，AE平面ABB1A1，所以BCAE.又因为A1CBCC，且A1C，BC平面A1BC，所以AE平面A1BC.因为A1B平面A1BC，所以AEA1B.在AMB和ABE中，BAMABM90，BAMBEA90，所以ABMBEA.所以RtABERtA1AB，所以.因为ABAA1，所以BEABBB1，即在线段BB1上存在点E使得A1CAE，此时.3(2019福建质量检测)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形(1)求证：AE平面BCF；(2)若ADDE，ADDE1，AB2，BAD60，求三棱锥FAEC的体积解：(1)证明：因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC.又AD平面BCF，BC平面BCF，所以AD平面BCF，因为四边形BDEF是矩形，所以DEBF.又DE平面BCF，BF平面BCF，所以DE平面BCF.因为ADDED，AD平面ADE，DE平面ADE，所以平面ADE平面BCF.因为AE平面ADE，所以AE平面BCF.(2)设AC与BD交于点O，则O为AC的中点连接OE，OF，如图故VFAECVCAEF2VOAEF2VAOEF.在ABD中，BAD60，AD1，AB2，由余弦定理得，BD2AB2AD22ABADcosBAD，所以BD，所以AB2AD2BD2，所以ADBD.又DEAD，BDDED，BD平面BDEF，DE平面BDEF，所以AD平面BDEF，故AD的长为点A到平面BDEF的距离因为DE1，所以SOEFS四边形BDEFBDDE，所以VAOEFSOEFAD，故VFAEC2VAOEF，即三棱锥FAEC的体积为.