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基础回扣(一)集合常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等式要点回扣1集合元素的三个特征集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性对点专练1集合Aa，b，c中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是()A等腰三角形B锐角三角形C直角三角形 D钝角三角形答案A2集合的表示方法描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义抓住集合的代表元素如：x|yf(x)函数的定义域；y|f(x)函数的值域；(x，y)|yf(x)函数图象上的点集对点专练2集合Ax|xy1，B(x，y)|xy1，则AB_.答案3空集问题遇到AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；同样在应用条件ABBABAAB时，不要忽略A的情况对点专练3设集合Ax|x25x60，集合Bx|mx10，若ABB，则实数m组成的集合是_答案4子集个数的计算对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n1,2n1,2n2.对点专练4满足1,2M1,2,3,4,5的集合M有_个答案75集合中的数形结合注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值对点专练5已知全集IR，集合Ax|y，集合Bx|0x2，则(IA)B等于()A1，) B(1，)C0，) D(0，)答案C6否命题和命题否定的区别“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论对点专练6已知实数a、b，若|a|b|0，则ab.该命题的否命题和命题的否定分别是_.答案否命题：已知实数a、b.若|a|b|0，则ab；命题的否定：已知实数a、b，若|a|b|0，则ab7充分、必要条件的判断“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.对点专练7设集合M1,2，Na2，则“a1”是“NM”的_条件答案充分不必要8含有量词的命题的否定要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想对点专练8若存在a1,3，使得不等式ax2(a2)x20成立，则实数x的取值范围是_答案(，1)9集合、区间的规范应用在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示对点专练9不等式3x25x20的解集为_答案10算法(1)首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值对点专练10执行如图所示的程序框图，则输出a的值为_答案34111复数的概念在复数中，对实数、纯虚数、模、共轭复数的考查是重点对点专练11若复数zlg(m2m2)ilg(m23m3)为实数，则实数m的值为_答案212复数的运算法则复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用对点专练12已知复数z，是z的共轭复数，则|_.答案113合情推理与演绎推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养对点专练13 图1有面积关系：，则图2有体积关系：_.答案14直接证明与间接证明直接证明综合法、分析法；间接证明反证法；数学归纳法对点专练14用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设_答案三角形三个内角都大于6015不等式的性质不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负，两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行对点专练15已知a，b，c，d为正实数，且cd，则“ab”是“acbd”的_条件答案充分不必要16基本不等式(a，b0)(1)推广：(a，b0)，(2)用法：已知x，y都是正数，则若积xy是定值p，则当xy时，和xy有最小值2；若和xy是定值s，则当xy时，积xy有最大值s2.对点专练16已知a0，b0，ab1，则y的最小值是_答案917线性规划解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解对点专练17设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是_答案易错盘点易错点1忽视元素互异性致误【例1】已知集合A1，x,2，B1，x2，若ABA，则x的不同取值有_种情况()A1 B2 C3 D4错解由x22，解得x1，x2.由x2x，解得x30，x41.选D.错因分析当x1时，集合A、B中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误正解ABA，BA.x22或x2x.由x22，解得x，由x2x，解得x0或x1.当x1时，x21，集合A、B中元素不满足互异性，所以符合题意的x为或或0，共3种情况，选C.由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证对点专练1(1)已知1m，m2，则实数m的值()A等于1 B等于1C等于1 Dm0且m1(2)已知1a2，(a1)2，a23a3，则实数a的值为_解析(1)因为集合元素具有互异性，所以m21，解得m1或m1(舍)，故选B.(2)由题意得a21或(a1)21或a23a31.解得a1或a2或a0.又当a2时，(a1)2a23a31不符合集合中元素互异性这一特点故a2，同理a1，故只有a0.答案(1)B(2)a0易错点2遗忘空集致误【例2】已知AxR|x4，BxR|2axa3，若ABA，则实数a的取值范围是_错解由ABA知，BA，解得a4或2a3.实数a的取值范围是a4或2a3.错因分析由并集定义容易知道，对于任何一个集合A，都有AA，所以错解忽视了B时的情况正解由ABA知，BA.当B时，有，解得a4或2a3，解得a3.综上可知，实数a的取值范围是a2.造成本题错误的根本原因是忽视了“空集是任何集合的子集”这一性质当题目中出现AB，ABA，ABB时，注意对A进行分类讨论，即分为A和A两种情况讨论对点专练2(1)设Ax|x2x60，Bx|mx10，且ABA，则m的取值范围是()A. B.C. D.(2)已知集合Ax|x2(p2)x10，pR)，若AR，则实数p的取值范围为_解析(1)因为A2，3由ABA得BA.当m0时，B，满足；当m0时，B，所以2或3，解得m或，故m的取值集合是，故选C.(2)由0，得p2；由，得4p0，解得a5或a5，故a的取值范围是(，2)5，)答案(1)若x0且y0，则xy0(2)(，2)5，)易错点4充分、必要条件判断不准致误【例4】设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得AC，BUC”是“AB”的_条件错解若AC，则UCUA，又BUC，AB，故填“充要”错因分析没有理解充分条件的概念，pq只能得到p是q的充分条件，必要性还要检验qp是否成立正解若AC，则UCUA，当BUC时，可得AB；若AB，不能推出BUC，故填“充分不必要”充分、必要条件判断时一定要分清条件和结论，只有充分性和必要性同时成立，才判断为充要条件对点专练4(1)设A，B为两个互不相同的集合，命题p：xAB，命题q：xA或xB，则綈q是綈p的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件(2)若“x22x80”是“x0得x4；依题意得知，由xm可得x4，于是有m2，即m的最大值是2.答案(1)B(2)2易错点5循环次数把握不准致误【例5】执行下边的程序框图，若p0.8，则输出的n_.错解3或5.错因分析陷入循环运算的“黑洞”，出现运算次数的偏差而致错正解n1，S0,00.8，S0，n2，0.8，S，n3，0.8，故输出n4.解答循环结构的程序(算法)框图，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误对点专练5(1)执行如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的结果是4，则常数a的值为()A4B2C.D1(1)题图(2)题图(2)执行如上图所示的程序框图，输出的S的值是_解析(1)S和n依次循环的结果如下：，2；1，4.所以12，a1，故选D.(2)由程序框图可知，n1，S0；Scos，n2；Scoscos，n3；Scoscoscoscos251coscoscos25100(1)01，n2015，输出S.答案(1)D(2)1易错点6复数的概念不清致误【例6】若zsini是纯虚数，则tan的值为()A7 B7C D7或错解由z为纯虚数，知sin0，则sin，从而cos.tan.由tan，得tan或7.故选D.错因分析混淆复数的有关概念，忽视虚部不为0的限制条件正解由z为纯虚数，知sin0，且cos0.则sin，从而cos.所以tan.tan7，故选A.纯虚数是指实部为零且虚部不为零的虚数对点专练6(1)复数2(i是虚数单位)的共轭复数为()Ai B.iC.i Di(2)若复数z1429i，z269i，其中i是虚数单位，则复数(z1z2)i的实部为_解析(1)由题意知，2ii，其共轭复数为i.故选D.(2)(z1z2)i(220i)i202i，故(z1z2)i的实部为20.答案(1)D(2)20易错点7忽视基本不等式的应用条件致误【例7】函数yx的值域是_错解yxx112121，当且仅当x1，即x1时等号成立，故函数值域为21，)错因分析错解中直接使用基本不等式，而忽视了x11时，yxx112 121，当且仅当x1，即x1时等号成立；当x1时，yx1x12121，y12；当且仅当1x，即x1时等号成立原函数的值域为(，1212，)利用基本不等式求最值时，无论怎样变形，均需满足“一正，二定，三相等”的条件本例由于忽视了x1的正、负问题，导致结果错误在应用基本不等式时，首先应考虑a，b是否为正值对点专练7(1)x0，则函数y2x有()A最小值6 B最大值6C最小值2 D最大值2(2)函数y的最小值为_解析(1)因为x0，所以x24，所以y2x246，当且仅当x2时等号成立，故选A.(2)y，令t，则t2，yt在2，)上为增函数，ymin2.答案(1)A(2)
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