资源描述
第10讲数列、等差数列与等比数列1.(1)2014全国卷数列an满足an+1=11-an,a8=2,则a1=.(2)2018全国卷记Sn为数列an的前n项和.若Sn=2an+1,则S6=.试做命题角度数列的递推问题(1)解决数列的递推问题:关键一,利用an=S1,n=1,Sn-Sn-1,n2得出an与an+1(或an-1)的递推式;关键二,观察递推式的形式,采用不同的方法求an.(2)若递推式形如an+1=an+f(n),an+1=f(n)an,则可分别通过累加、累乘法求得通项公式,或用迭代法求得通项公式;若递推式形如an+1=pan+q(其中p,q均为常数,且p1),则通常化为an+1-t=p(an-t)的形式,其中t=q1-p,再利用换元法转化为等比数列求解.2.(1)2017全国卷等差数列an的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则an前6项的和为()A.-24B.-3C.3D.8(2)2016全国卷设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.试做命题角度等差、等比数列的基本计算关键一:基本量思想(等差数列:首项a1和公差d.等比数列:首项a1和公比q).关键二:等差数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则an+am=ap+aq;等比数列的性质,若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则anam=apaq.3.(1)2017全国卷等差数列an的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,则k=1n1Sk=.(2)2015全国卷设Sn是数列an的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=.试做命题角度数列求和关键一:利用等差数列、等比数列的前n项和公式求解.关键二:利用数列求和方法(公式法、倒序相加法、分组求和法、并项求和法、错位相减法、裂项相消法)求解.小题1数列的递推关系1 (1)已知数列an的前n项和为Sn,若3Sn=2an-3n,则a2018= ()A.22018-1B.32018-6C.122018-72D.132018-103(2)已知数列an满足a1=15,an+1-ann=2(nN*),则ann的最小值为.听课笔记 【考场点拨】由递推关系式求数列的通项公式,常用的方法有:求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式(注意验证);将已知递推关系式整理、变形得到等差或等比数列的通项公式,或用累加法(适用于an+1=an+f(n)型)、累乘法(适用于an+1=anf(n)型)、待定系数法(适用于an+1=pan+q型)求通项公式.【自我检测】1.数列an满足a1=1,且对任意的m,nN*,都有am+n=am+an+mn,则1a1+1a2+1a3+1a2017等于 ()A.20162017B.20172018C.20171009D.402420172.定义各项均不为0的数列an:a1=1,a2=1,当n3时,an=an-1+an-12an-2.定义各项均不为0的数列bn:b1=1,b2=3,当n3时,bn=bn-1+bn-12bn-2.则b2017a2018=()A.2017B.2018C.2019D.10093.在数列an中,a1=0,an+1=3+an1-3an,则数列an的前2018项和S2018=.4.已知数列an的前n项和为Sn,且an+Sn=3n-1,则数列an的通项公式an=.小题2等差、等比数列的基本计算2 (1)已知数列an的前n项和Sn=2n+1-2,bn=log2(an22an),数列bn的前n项和为Tn,则满足Tn1024的n的最小值为()A.9B.10C.12D.15(2)已知等差数列an中,a3=7,a9=19,Sn为数列an的前n项和,则Sn+10an+1的最小值为.听课笔记 【考场点拨】等差、等比数列问题的求解策略:(1)抓住基本量,首项a1、公差d或公比q;(2)熟悉一些结构特征,如前n项和为Sn=an2+bn(a,b是常数)的形式的数列为等差数列,通项公式为an=pqn-1(p,q0)的形式的数列为等比数列;(3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置,所以常采用两式相除(即比值的方式)进行相关计算.【自我检测】1.已知数列an是公比为q的等比数列,若a1,a3,a2成等差数列,则公比q的值为()A.-12B.-2C.1或-12D.-1或122.等比数列an的首项为3,公比q1,若a4,a3,a5成等差数列,则数列an的前5项和S5=()A.-31B.33C.45D.933.设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-11,a4+a6=-6,则当Sn取得最小值时,n的值为.4.已知等差数列an的前n项和为Sn,a1=9,a5=1,则使得Sn0成立的n的最大值为.小题3等差、等比数列的性质3 (1)已知等差数列an的前n项和为Sn,若a4,a10是方程x2-8x+1=0的两个根,则S13=()A.58B.54C.56D.52(2)已知数列an的各项都为正数,对任意的m,nN*,aman=am+n恒成立,且a3a5+a4=72,则log2a1+log2a2+log2a7=.听课笔记 【考场点拨】等差、等比数列性质使用的注意点:(1)通项性质:若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,kN*),则对于等差数列有am+an=ap+aq=2ak,对于等比数列有aman=apaq=ak2.(2)前n项和的性质:对于等差数列有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等差数列;对于等比数列,若有Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,成等比数列,则仅在q-1,或q=-1且m为奇数时满足.【自我检测】1.已知数列an为等差数列,数列bn为等比数列,且满足a2017+a2018=,b202=4,则tana2+a4033b1b39= ()A.-1B.22C.1D.32.已知等比数列an中,a5=2,a6a8=8,则a2018-a2016a2014-a2012=()A.2B.4C.6D.83.已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且S10=10,S30=130,则S40= ()A.-510B.400C.400或-510D.30或404.已知等差数列an的公差不为0,a1=1,且a2,a4,a8成等比数列,an的前n项和为Sn,则Sn= ()A.n(n+1)2B.(n+1)22C.n2+12D.n(n+3)4小题4等差、等比数列的综合问题4 (1)已知等差数列an的前n项和为Tn,a3=4,T6=27,数列bn满足bn+1=b1+b2+b3+bn,b1=b2=1,设cn=an+bn,则数列cn的前11项和S11= ()A.1062B.2124C.1101D.1100(2)已知数列an的通项公式为an=n+t(tR),数列bn为公比小于1的等比数列,且满足b1b4=8,b2+b3=6,设cn=an+bn2+|an-bn|2,在数列cn中,若c4cn(nN*),则实数t的取值范围为. 听课笔记 【考场点拨】解决数列的综合问题的易失分点:(1)公式an=Sn-Sn-1适用于所有数列,但易忽略n2这个前提;(2)对含有字母的等比数列求和时要注意q=1或q1的情况,公式Sn=a1(1-qn)1-q只适用于q1的情况.【自我检测】1.已知数列an的各项均为整数,a8=-2,a13=4,前12项依次成等差数列,从第11项起依次成等比数列,则a15=()A.8B.16C.64D.1282.已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且a1a6=2a3,a4与2a6的等差中项为32,则S5= ()A.315325B.30C.31D.3153243.当n为正整数时,定义函数N(n)表示n的最大奇因数,如N(3)=3,N(10)=5.若S(n)=N(1)+N(2)+N(3)+N(2n),则S(5)=()A.342B.345C.341D.3464.已知等比数列an满足a2a5=2a3,且a4,54,2a7成等差数列,则a1a2an的最大值为.模块三数列第10讲数列、等差数列与等比数列典型真题研析1.(1)12(2)-63解析 (1)由题易知a8=11-a7=2,得a7=12;a7=11-a6=12,得a6=-1;a6=11-a5=-1,得a5=2,于是可知数列an具有周期性,且周期为3,所以a1=a7=12.(2)方法一:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1,又由Sn=2an+1=2(Sn-Sn-1)+1(n2),得Sn=2Sn-1-1(n2),即Sn-1=2(Sn-1-1)(n2),所以数列Sn-1是以S1-1=-2为首项,2为公比的等比数列,所以S6-1=(-2)25=-64,则S6=-63.方法二:令n=1,得S1=a1=2a1+1,所以a1=-1.由Sn=2an+1,得Sn-1=2an-1+1(n2),-得an=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2),所以an是以a1=-1为首项,2为公比的等比数列,于是S6=(-1)(1-26)1-2=-63.2.(1)A(2)64解析 (1)an为等差数列,且a2,a3,a6成等比数列,则a32=a2a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d).将a1=1代入上式并化简,得d2+2d=0,d0,d=-2,S6=6a1+652d=16+652(-2)=-24.(2)设该等比数列的公比为q,则q=a2+a4a1+a3=12,可得a1+14a1=10,得a1=8,所以an=812n-1=12n-4.所以a1a2an=12-3-2-1+0+(n-4)=1212(n2-7n),易知当n=3或n=4时,12(n2-7n)取得最小值-6,故a1a2an的最大值为12-6=64.3.(1)2nn+1(2)-1n解析 (1)设公差为d,则a1+2d=3且4a1+6d=10,解得a1=1,d=1,所以Sk=k(k+1)2,1Sk=21k-1k+1,所以k=1n1Sk=21-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+1=2nn+1.(2)因为a1=-1,an+1=SnSn+1,所以S1=-1,Sn+1-Sn=SnSn+1,所以1Sn+1-1Sn=-1,所以数列1Sn是首项为-1,公差为-1的等差数列,所以1Sn=-n,所以Sn=-1n.考点考法探究小题1例1(1)A(2)274解析 (1)由题意可得3Sn=2an-3n,3Sn+1=2an+1-3(n+1),两式作差可得3an+1=2an+1-2an-3,即an+1=-2an-3,即an+1+1=-2(an+1),由3S1=2a1-3=3a1,可得a1=-3,a1+1=-2,数列an+1是首项为-2,公比为-2的等比数列,据此有a2018+1=(-2)(-2)2017=22018,a2018=22018-1.(2)由an+1-ann=2,得an+1-an=2n,a1=15,当n2时,an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)=15+2+4+2(n-1)=15+2n(n-1)2=n2-n+15,a1=15满足上式,an=n2-n+15,ann=n+15n-1,易知当n依次取1,2,3时,n+15n-1的值递减;当n取大于或等于4的自然数时,n+15n-1的值递增.当n=3时,ann=3+5-1=7;当n=4时,ann=4+154-1=274.故ann的最小值为274.【自我检测】1.C解析 an+m=am+an+mn对任意的m,nN*都成立,an+1=an+a1+n=an+1+n,即an+1-an=1+n,a2-a1=2,a3-a2=3,an-an-1=n(n2),把上面(n-1)个式子相加可得,an-a1=2+3+4+n,an=1+2+3+n=n(n+1)2(n2),当n=1时,a1=1,满足上式,an=n(n+1)2,从而有1an=2n(n+1)=21n-1n+1,1a1+1a2+1a3+1a2017=21-12+12-13+12017-12018=20171009.2.D解析 当n3时,由an=an-1+an-12an-2两边同除以an-1,可得anan-1=1+an-1an-2,即anan-1-an-1an-2=1,则数列anan-1是首项为1,公差为1的等差数列,所以anan-1=n-1(n2),所以an=a1a2a1a3a2anan-1=112(n-1)(n2).同理可得bnbn-1-bn-1bn-2=1(n3),则数列bnbn-1是首项为3,公差为1的等差数列,所以bnbn-1=n+1(n2),可得bn=b1b2b1b3b2bnbn-1=134(n+1)(n2),所以b2017a2018=13420181122017=1009,故选D.3.3解析 a1=0,an+1=3+an1-3an,a2=31=3,a3=3+31-33=23-2=-3,a4=3-31+33=0,数列an具有周期性,其周期为3,且a1+a2+a3=0,则S2018=S3672+2=a1+a2=3.4.3-12n-2解析 由an+Sn=3n-1,得当n2时,an-1+Sn-1=3n-4,两式相减得an=12an-1+32,an-3=12(an-1-3).当n=1时,a1+S1=3-1=2,a1=1,a1-3=-2,数列an-3是以-2为首项,12为公比的等比数列,an-3=-212n-1,an=3-12n-2.小题2例2(1)A(2)3解析 (1)因为数列an的前n项和Sn=2n+1-2,所以当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n,当n=1时,a1=21+1-2=2,满足上式,所以an=2n,所以bn=log2(an22an)=log2an2+log22an=2n+2n,所以数列bn的前n项和Tn=n(2+2n)2+2(1-2n)1-2=n(n+1)+2n+1-2,易知当nN*时,Tn递增.当n=9时,T9=910+210-2=11121024;当n=8时,T8=89+29-2=5821024的n的最小值为9.(2)a3=7,a9=19,公差d=a9-a39-3=19-76=2,an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,Sn=n(3+2n+1)2=n(n+2),Sn+10an+1=n(n+2)+102n+2=12(n+1)+9n+1122(n+1)9n+1=3,当且仅当n=2时取等号.【自我检测】1.C解析 由题意知2a3=a1+a2,2a1q2=a1q+a1,即2q2=q+1,q=1或q=-12.2.B解析 等比数列an的首项为3,an=3qn-1,又a4,a3,a5成等差数列,a4+a5=2a3,q2+q=2,(q+2)(q-1)=0,q=-2,an=3(-2)n-1,S5=31-(-2)51-(-2)=33,故选B.3.6解析 设数列an的公差为d,则a4+a6=2a1+8d=2(-11)+8d=-6,解得d=2,所以Sn=-11n+n(n-1)22=n2-12n=(n-6)2-36,所以当n=6时,Sn取得最小值.4.9解析 因为a1=9,a5=1,所以公差d=1-94=-2,所以Sn=9n+12n(n-1)(-2)=10n-n2,令Sn0,得0n0成立的n的最大值为9.小题3例3(1)D(2)21解析 (1)由根与系数的关系可得a4+a10=8,结合等差数列的性质可得a1+a13=a4+a10=8,则S13=13(a1+a13)2=1382=52.(2)令m=1,aman=am+n,a1an=a1+n,数列an为等比数列.由a3a5+a4=72,得a42+a4=72,a40,a4=8,log2a1+log2a2+log2a7=log2(a1a2a7)=log2a47=log287=21.【自我检测】1.C解析 由等差数列的性质可知,a2+a4033=a2017+a2018=,由等比数列的性质可知,b1b39=b202=4,所以tana2+a4033b1b39=tan4=1,故选C.2.A解析 设数列an的公比为q.数列an是等比数列,a6a8=a72=8,a7=22(与a5同号),q2=a7a5=2,a2018-a2016a2014-a2012=q4=(2)2=2.故选A.3.B解析 正项等比数列an的前n项和为Sn,S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等比数列,10(130-S20)=(S20-10)2,解得S20=40或S20=-30(舍),故S40-S30=270,S40=400,故选B.4.A解析 设等差数列an的公差为d(d0).a2,a4,a8成等比数列,a42=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),(1+3d)2=(1+d)(1+7d),d=1,Sn=n+n(n-1)2=n(n+1)2.故选A.小题4例4(1)C(2)-4,-2解析 (1)设数列an的公差为d,则a1+2d=4,6a1+15d=27,解得a1=2,d=1,数列an的通项公式为an=n+1.当n2时,bn+1-bn=bn,bn+1=2bn,即数列bn从第二项起为等比数列,bn=2n-2(n2),数列bn的通项公式为bn=1,n=1,2n-2,n2.分组求和可得数列cn的前11项和S11=(2+3+4+12)+(1+1+2+22+29)=77+210=1101.(2)在等比数列bn中,由b1b4=8得b2b3=8,又b2+b3=6,且公比q小于1,b2=4,b3=2,q=b3b2=12,因此bn=b2qn-2=412n-2=12n-4.由cn=an+bn2+|an-bn|2,得cn=bn(anbn),an(anbn),cn是取an,bn中的较大者.由题易知c4是数列cn中的最小项,又bn=12n-4递减,an=n+t递增,当c4=a4时,c4cn,即a4cn,a4是数列cn中的最小项,则必须满足b4a4b3,即124-44+t123-4,解得-30.a1a6=2a3,a4与2a6的等差中项为32,a12q5=2a1q2,a1(q3+2q5)=3,得a1=16,q=12,则S5=161-1251-12=31.3.A解析 由题设知,N(2n)=N(n),N(2n-1)=2n-1,S(n)=1+3+5+(2n-1)+N(2)+N(4)+N(6)+N(2n)=4n-1+N(1)+N(2)+N(3)+N(2n-1)=4n-1+S(n-1)(n2),又S(1)=N(1)+N(2)=2,S(n)=4n-1+4n-2+41+2=4n+23,S(5)=45+23=342.故选A.4.1024解析 设数列an的公比为q.由已知得a3a4=a2a5=2a3a4=2,a4+2a7=254a7=14,a7a4=18=q3,q=12=2-1,a1=a4q3=24,an=242-(n-1)=25-n,a1a2an=242325-n=24+3+(5-n)=2n4+(5-n)2=2-n2+9n2=2-(n-92)2+8142,当n=4或5时,a1a2an取得最大值1024.备选理由 例1为由递推关系求数列的通项公式问题,难度较大;例2考查等比数列前n项和中参数的计算,不同于原例2只考查等差、等比数列的基本量的计算;例3考查等比数列的计算,采用整体求解比较方便;例4为等差数列性质的应用问题;例5是一道等差数列与等比数列的综合题.例1配例1使用 已知数列an满足a1=1,a2=13,若anan-1+2anan+1=3an-1an+1(n2,nN*),则数列an的通项公式为an=.答案 12n-1解析 anan-1+2anan+1=3an-1an+1(n2,nN*),1an+1+2an-1=3an,即1an+1-1an=21an-1an-1,又1a2-1a1=2,数列1an+1-1an是以2为首项,2为公比的等比数列,1an+1-1an=2n,当n2时,1an=1an-1an-1+1an-1-1an-2+1a2-1a1+1a1=2n-1+2n-2+2+1=2n-12-1=2n-1.当n=1时,1a1=1,满足上式,1an=2n-1,an=12n-1.例2配例2使用 已知等比数列an的前n项和Sn=32n-1+r,则r的值为 ()A.13B.-13C.19D.-19解析 B当n=1时,a1=S1=3+r;当n2时,an=Sn-Sn-1=32n-1-32n-3=32n-3(32-1)=832n-3=832n-23-1=839n-1.数列an为等比数列,3+r=83,r=-13,故选B.例3配例2使用 在等比数列an中,已知a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a8+a9+a10=.答案 128解析 设数列an的公比为q.a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=(a1+a2+a3)q=2,q=2,a8+a9+a10=(a1+a2+a3)q7=27=128.例4配例3使用 在等差数列an中,其前n项和为Sn,若2(a1+a4+a7)+3(a9+a11)=24,则S13+2a7=()A.17B.26C.30D.56解析 C设等差数列an的公差为d,由等差数列的性质可得a1+a7=2a4,a9+a11=2a10,则有6a4+6a10=24,即a1+6d=2,所以S13=13a1+13122d=13(a1+6d)=26,2a7=2(a1+6d)=4,所以S13+2a7=30.例5配例4使用 已知各项都是正数的等比数列an的公比q1,且a2,12a3,a1成等差数列,则a4+a5a2+a3的值为()A.1+52B.3+52C.5-12D.3-52或3+52解析 B由题得12a32=a2+a1,a1q2=a1q+a1,q=1+52,a4+a5a2+a3=a2q2+a3q2a2+a3=q2=3+52.
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