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第9课时生活中的优化问题举例基础达标(水平一)1.有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为().A.4 m2B.8 m2C.12 m2D.16 m2【解析】设矩形一边长为x(0x0),y=250x-225x2,令y=0,得x=25,当x(0,25)时,y0;当x(25,+)时,y0.所以当x=25时,y取得极大值,也是最大值.【答案】C3.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图象分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时,t的值为().A.1B.12C.52D.22【解析】令F(x)=f(x)-g(x)=x2-ln x,F(x)=2x-1x.令F(x)=0,得x=22或x=-22(舍去),F(x)在x=22处最小.【答案】D4.某公司生产一种产品,固定成本为20000元,每生产一单位的产品,成本增加100元,若总收入R与年产量x的关系是R(x)=-x3900+400x,0x390,则当总利润最大时,每年生产的产品单位数是().A.150B.200C.250D.300【解析】由题意可得总利润P(x)=-x3900+300x-20000,0x390,则P(x)=-x2300+300.由P(x)=0,得x=300.当0x0;当300x390时,P(x)0,所以当x=300时,P(x)最大.故选D.【答案】D5.面积为S的所有矩形中,其周长最小时的边长是. 【解析】设矩形的长为x,则宽为Sx,周长y=2x+Sx,y=21-Sx2,令y=0,得x=S.当0xS时,yS时,y0.所以当x=S时周长最小.【答案】S6.某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品,若该商品定价为P元,则销售量Q(单位:件)与定价P(单位:元)有如下关系:Q=8300-170P-P2.则该商品定价为元时,毛利润L最大.【解析】由题意得L=PQ-20Q=-P3-150P2+11700P-166000(P0),L=-3P2-300P+11700.令L=0,得P=30或P=-130(舍去).当P(0,30)时,L0;当P(30,+)时,L0,当P=30时,L取得极大值,也是最大值.故当定价为30元时,毛利润最大为L=23000元.【答案】307.某种新型快艇在某海域匀速行驶中,每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=1144000x3-1360x+3(0x120).已知该海域甲、乙两地相距120千米.(1)当快艇以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当快艇以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少?最少约为多少升?(精确到0.1升)【解析】(1)当x=40时,快艇从甲地到乙地行驶了12040=3 小时,故耗油量为1144000403-136040+33=10 升.(2)当速度为x千米/小时时,快艇从甲地到乙地行驶了120x 小时.设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=1144000x3-1360x+3120x=11200x2+360x-13(0x120),h(x)=x600-360x2=x3-603600x2.(0x120)令h(x)=0,得x=60,当x(0,60)时,h(x)0,h(x)是增函数.所以当x=60时,h(x)min=2638.7.故当快艇以60千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油量最少,最少约为8.7升.拓展提升(水平二)8.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30千米/小时,当速度为10千米/小时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)是每小时400元.如果甲、乙两地相距800千米,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为().A.30千米/小时B.25千米/小时C.20千米/小时D.10千米/小时【解析】设航速为v(0v30),每小时燃料费为m,则m=kv3,v=10时,m=25,代入上式得k=140,总费用y=800vm+800v400=20v2+320000v,y=40v-320000v2.令y=0,得v=20.经判断知v=20时,y最小,故选C.【答案】C9.某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x(0,0.048),则银行获得最大收益的存款利率为().A.3.2%B.2.4%C.4%D.3.6%【解析】依题意知,存款量是kx2,银行应支付的利息是kx3,银行应获得的利息是0.048kx2,所以银行的收益y=0.048kx2-kx3,故y=0.096kx-3kx2.令y=0,得x=0.032或x=0(舍去).因为k0,所以当0x0;当0.032x0.048时,y0.因此,当x=0.032时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率定为3.2%时,银行可获得最大收益.【答案】A10.圆柱形饮料罐的容积一定时,它的高与底面直径之比是时,所用材料最省.【解析】设底面半径为r,高为h,则表面积S=2rh+2r2,由V=r2h,所以h=Vr2,则S=2Vr+2r2.令S=-2Vr2+4r=0,得r=3V2,所以h=Vr2=23V2=2r,此时,高与底面直径相等,表面积取得极小值,也是最小值,用料最省.【答案】1111.请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库(供融化高速公路上的积雪之用).它的上部分是底面圆半径为5 m的圆锥,下部分是底面圆半径为5 m的圆柱,且该仓库的总高度为5 m.经过预算,制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为4百元/m2、1百元/m2,设圆锥母线与底面所成的角为,且0,4,问当为多少时,该仓库的侧面总造价(单位:百元)最少?并求出此时圆锥的高度.【解析】设该仓库的侧面总造价为y百元,则y=255(1-tan)1+12255cos4=501+2-sincos.由y=502sin-1cos2=0,得sin =12,0,4,所以=6.列表如下:0,666,4y-0+y极小值所以当=6时,侧面总造价y最小,此时圆锥的高度为533 m.
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