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12.1“且”与“或”学习目标1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假.3.掌握根据命题真假求参数取值范围的方法知识点一“且”1定义：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作“p且q”当p，q都是真命题时，pq是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题将命题p和命题q以及pq的真假情况绘制为命题“pq”的真值表如下：pqpq真真真真假假假真假假假假命题“pq”的真值表可简单归纳为“同真则真”，“有假则假”2“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，ABx|xA且xB中的“且”是指“xA”与“xB”这两个条件都要同时满足3.我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题pq的真与假知识点二“或”1定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作“p或q”当p，q两个命题有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，pq是假命题将命题p和命题q以及pq的真假情况绘制为命题“pq”的真值表如下：pqpq真真真真假真假真真假假假命题“pq”的真值表可简单归纳为“假假才假”2对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念ABx|xA或xB中的“或”，它是指“xA”，“xB”中至少有一个是成立的，即可以是xA且xB，也可以是xA且xB，也可以是xA且xB.3.我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题pq的真与假1逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中()2命题“pq”是真命题，p，q至少有一个是真命题()3梯形的对角线相等且平分是“pq”形式的命题()题型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1命题形式的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)22.解(1)是pq形式的命题其中p：向量有大小，q：向量有方向(2)是pq形式的命题其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆(3)是pq形式的命题其中p：22，q：22.反思感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题称之为复合命题判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题跟踪训练1指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形解(1)这个命题是“pq”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数(2)这个命题是“pq”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形命题角度2用逻辑联结词构造新命题例2分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：1是方程x24x30的解，q：3是方程x24x30的解解(1)p或q：梯形有一组对边平行或梯形有一组对边相等p且q：梯形有一组对边平行且梯形有一组对边相等(2)p或q：1或3是方程x24x30的解p且q：1与3是方程x24x30的解反思感悟用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并跟踪训练2分别写出由下列命题构成的“pq”“pq”的形式(1)p：函数y3x2是偶函数，q：函数y3x2是增函数；(2)p：是无理数，q：是实数；(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角解(1)pq：函数y3x2是偶函数且是增函数；pq：函数y3x2是偶函数或是增函数(2)pq：是无理数且是实数；pq：是无理数或是实数(3)pq：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；pq：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角题型二“pq”和“pq”形式命题的真假判断例3分别指出“pq”“pq”的真假(1)p：函数ysinx是奇函数；q：函数ysinx在R上单调递增；(2)p：直线x1与圆x2y21相切；q：直线x与圆x2y21相交；(3)p：不等式x22x10的解集为R；q：不等式x22x21的解集为.解(1)p真，q假，“pq”为真，“pq”为假(2)p真，q真，“pq”为真，“pq”为真(3)p假，q假，“pq”为假，“pq”为假反思感悟判断pq与pq形式命题的真假的步骤(1)首先判断命题p与q的真假(2)对于pq，“一假则假，全真则真”，对于pq，只要有一个为真，则pq为真，全假为假跟踪训练3分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假(1)p：0，q：0；(2)p：是无理数，q：不是无理数；(3)p：集合AA，q：AAA；(4)p：函数yx23x4的图象与x轴有公共点，q：方程x23x40没有实数根解(1)p真，q假，“p或q”为真，“p且q”为假(2)p真，q假，“p或q”为真，“p且q”为假(3)p真，q真，“p或q”为真，“p且q”为真(4)p假，q假，“p或q”为假，“p且q”为假由复合命题的真假求参数的范围典例已知p：方程x2mx10有两个不等的负实数根；q：方程4x24(m2)x10无实数根，若“pq”是真命题，“pq”是假命题，求实数m的取值范围考点“或”“且”的综合问题题点由复合命题的真假求参数的范围解p：方程x2mx10有两个不等的负实数根m2.q：方程4x24(m2)x10无实数根16(m2)21601m3.因为“pq”是真命题，“pq”是假命题，所以p为真且q为假，或p为假且q为真(1)当p为真且q为假时，由解得m3；(2)当p为假且q为真时，由解得1m2.综上所述，实数m的取值范围是(1,23，)素养评析(1)解决逻辑联结词的应用问题，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数的取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，有利于形成程序化思维，能促进数学思维的发展，培养程序化思考问题的品质.1命题“方程x21的解是x1”中，使用逻辑联结词的情况是()A没有使用逻辑联结词B使用了逻辑联结词“或”C使用了逻辑联结词“且”D使用了逻辑联结词“或”与“且”答案B2命题“xy0”是指()Ax0且y0Bx0或y0Cx，y至少有一个不为0D不都是0答案A解析满足xy0，即x，y两个都不为0，故选A.3已知p：0，q：11,2在命题“p”，“q”，“pq”，和“pq”中，真命题有()A1个B2个C3个D0个答案B解析容易判断命题p：0是真命题，命题q：11,2是假命题，所以pq是假命题，pq是真命题，故选B.4“pq是真命题”则下列结论错误的是()Ap是真命题Bq是真命题Cpq是真命题Dpq是假命题答案D解析pq是真命题p是真命题且q是真命题pq是真命题，故选D.5已知命题p：函数f(x)(2a1)xb在R上是减函数；命题q：函数g(x)x2ax在1,2上是增函数，若pq为真，则实数a的取值范围是_答案解析命题p：由函数f(x)在R上为减函数得2a10，解得a1或13；方程x22x40的判别式大于或等于0；25是6或5的倍数；集合AB是A的子集，且是AB的子集其中真命题的个数为()A1B2C3D4答案D解析由于21是真命题，所以“21或13”是真命题；由于方程x22x40的判别式大于0，所以“方程x22x40的判别式大于或等于0”是真命题；由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；由于A，所以命题“集合AB是A的子集，且是AB的子集”是真命题3命题pq是假命题，命题pq是真命题，则下列判断正确的是()A命题p真q假B命题p假q真C命题p与q真假相同D命题p与q真假不同答案D解析由命题pq是假命题，命题pq是真命题，得命题p，q一真一假故选D.4命题p：点P在直线y2x3上；q：点P在曲线yx2上，则使“p且q”为真命题的一个点P(x，y)是()A(0，3) B(1,2)C(1，1) D(1,1)答案C解析点(x，y)满足解得P(1，1)或P(3，9)，故选C.5设命题p：函数ysin2x的最小正周期为；命题q：函数ycosx的图象关于直线x对称，则下列判断正确的是()Ap为真Bq为真Cpq为假Dpq为真答案C解析函数ysin2x的最小正周期为，故命题p为假命题；x不是ycosx的对称轴，故命题q为假命题，故pq为假故选C.6给出命题p：33；q：函数f(x)在R上的值域为1,1在下列命题：“p”“q”“pq”“pq”中，真命题的个数为()A0B1C2D3答案C7p：方程x22xa0有实数根，q：函数f(x)(a2a)x是增函数，若“pq”为假命题，“pq”为真命题，则实数a的取值范围是()Aa0Ba0Ca1Da1答案B解析方程x22xa0有实数根，44a0，解得a1.函数f(x)(a2a)x是增函数，a2a0，解得a1.pq为假命题，pq为真命题，p，q中一真一假当p真q假时，得0a1；当p假q真时，得a1.由得所求a的取值范围是a0.二、填空题8分别用“pq”“pq”填空：(1)命题“集合AB”是_的形式；(2)命题“2”是_的形式；(3)命题“60是10与12的公倍数”是_的形式答案(1)pq(2)pq(3)pq9已知p：x22x30；q：0，若p且q为真，则x的取值范围是_答案(1,2)解析当p为真命题时，x22x30，则1x3；当q为真命题时，x20，则x2.当p且q为真命题时，p和q均为真命题，从而x的取值范围是1x的解集为x|0x，得00x1(a0且aD/1)的解集是x|x0，q：函数ylg(ax2xa)的定义域为R，如果p且q为假，p或q为真，则a的取值范围为_答案解析若p真，则0a1.若q真，有解得a.若q假，则a，又由题意知，p和q有且仅有一个为真，当p真q假时，01，综上所述，a(1，)三、解答题12判断下列复合命题的真假(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x22x10的解集为R且不等式x22x21的解集为.解(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x22x10的解集为R，q：不等式x22x21的解集为.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题13已知p：函数yx2mx1在(1，)上单调递增，q：函数y4x24(m2)x1大于零恒成立若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围解若函数yx2mx1在(1，)上单调递增，则1，m2，即p：m2；若函数y4x24(m2)x1恒大于零，则16(m2)2160，解得1m3，即q：1m3.因为p或q为真，p且q为假，所以p，q一真一假，当p真q假时，由，得m3，当p假q真时，由，得1m2.综上，m的取值范围是m|m3或1m214设命题p：函数f(x)lg的定义域为R，命题q：关于x的不等式3x9xa对一切正实数都成立若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a的取值范围是_答案0,1解析由题意，得对命题p：ax2x0在R上恒成立，当a0时，不符合，故得a1.对命题q：令3xt(t1)，则3x9x20，故a0.由p或q为真，p且q为假，得p，q一真一假，当p真q假时，无解；当p假q真时，得0a1.15已知命题p：方程a2x2ax20在1,1上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x22ax2a0，若命题“pq”是假命题，求实数a的取值范围解由a2x2ax20，得(ax2)(ax1)0.显然a0，x或x.若命题p为真，x1,1，故1或1，|a|1.若命题q为真，即只有一个实数x满足x22ax2a0，即抛物线yx22ax2a与x轴只有一个交点，4a28a0，a0与a2.命题“pq”为假命题，q，p同时为假命题a的取值范围是a|1a0或0a1
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