2020版高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第5讲 课后作业 理(含解析).doc

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第7章 立体几何 第5讲A组基础关1已知平面平面,l,点A,Al,直线ABl,直线ACl,直线m,m,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()AABmBACmCABDAC答案D解析如图所示,ABlm;ACl,mlACm;ABlAB,只有D不一定成立,故选D.2如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有()AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEFDHG平面AEF答案B解析根据折叠前、后AHHE,AHHF不变,AH平面EFH,B正确;过A只有一条直线与平面EFH垂直,A不正确;AGEF,EFGH,AGGHG,EF平面HAG,又EF平面AEF,平面HAGAEF,过H作直线垂直于平面AEF,一定在平面HAG内,C不正确;已证平面HAG平面AEF,若证HG平面AEF,只需证HGAG,已证AHHG,故HGAG不成立,所以HG与平面AEF不垂直,D不正确故选B.3. 如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA平面ABC,PA2AB,则下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45答案D解析选项A,B,C显然错误PA平面ABC,PDA是直线PD与平面ABC所成的角ABCDEF是正六边形,AD2AB.tanPDA1,直线PD与平面ABC所成的角为45.故选D.4(2017江西南昌摸底)如图,在四面体ABCD中,已知ABAC,BDAC,那么点D在平面ABC内的射影H必在()A直线AB上B直线BC上C直线AC上DABC内部答案A解析因为ABAC,BDAC,ABBDB,所以AC平面ABD,又AC平面ABC,所以平面ABC平面ABD,所以点D在平面ABC内的射影H必在直线AB上故选A.5在正方体ABCDA1B1C1D1中,E是C1C的中点,则直线BE与平面B1BD所成的角的正弦值为()AB.CD.答案B解析如图,延长BE与B1C1的延长线交于点F,连接FD1,因为E为C1C的中点,四边形BCC1B1是正方形,所以C1FB1C1BC,所以C1D1FC1D1B145,所以FD1B1D1,易证FD1平面BB1D1D.所以BFD1是直线BE与平面B1BD所成的角设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,则D1FB1D1a.BFa,所以sinBFD1.6如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱长为2,ACBC1,ACB90,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1平面C1DF,则线段B1F的长为()A.B1C.D2答案A解析设B1Fx,因为AB1平面C1DF,DF平面C1DF,所以AB1DF.由已知可以得A1B1,矩形ABB1A1中,tanFDB1,tanA1AB1.又FDB1A1AB1,所以.故B1F.故选A.7已知正方体ABCDA1B1C1D1,点E,F,G分别是线段DC,D1D和D1B上的动点,给出下列结论:对于任意给定的点E,存在点F,使得AFA1E;对于任意给定的点F,存在点E,使得AFA1E;对于任意给定的点G,存在点F,使得AFB1G;对于任意给定的点F,存在点G,使得AFB1G.其中正确结论的个数是()A0B1C2D3答案C解析因为DE平面A1D,根据三垂线定理,对于任意给定的点E,A1E在平面A1D的射影为A1D,所以存在点F,使得AFA1D,所以AFA1E,正确;如果对于任意给定的点F,存在点E,使得AFA1E;那么AFA1D,又AD1A1D,得到过A有两条直线与A1D垂直,故错误;只有AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影时,AFB1G,所以当G位于D1B的上半部分时,在D1D上不存在F点,使AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影,错误;对任意给定的点F,存在平面BCC1B1上的线段B1G和AF垂直,且B1G为B1G的投影,所以正确,所以C正确8如图,平面ABC平面BDC,BACBDC90,且ABACa,则AD_.答案a解析作BC中点E,连接AE,DE,则在RtABC中,ABACa,由勾股定理得BC2AEa,且有AEBC,又平面ABC平面BDC,平面ABC平面BDCBC且直线AE在平面ABC内,由面面垂直的性质定理得AE平面BCD,DE平面BCD内,AEDE,又在RtBCD中,点E是BC的中点,DEa,在RtADE中,AEa,由勾股定理得ADa.9(2016全国卷),是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:如果mn,m,n,那么;如果m,n,那么mn;如果,m,那么m;如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)答案解析对于,由mn,m可得n或n在内,当n时,与可能相交,也可能平行,故错误;对于,过直线n作平面与平面交于直线c,由n可知nc,m,mc,mn,故正确;对于,由两个平面平行的性质可知正确;对于,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有.10(2018兰州实战考试),是两平面,AB,CD是两条线段,已知EF,AB于B,CD于D,若增加一个条件,就能得出BDEF.现有下列条件:AC;AC与,所成的角相等;AC与CD在内的射影在同一条直线上;ACEF.其中能成为增加条件的序号是_答案解析由题意得,ABCD,A,B,C,D四点共面中,AC,EF,ACEF,又AB,EF,ABEF,ABACA,EF平面ABCD,又BD平面ABCD,BDEF,故正确;不能得到BDEF,故错误;中,由AC与CD在内的射影在同一条直线上可知平面ABCD,又AB,AB平面ABCD,平面ABCD.平面ABCD,平面ABCD,EF,EF平面ABCD,又BD平面ABCD,BDEF,故正确;中,由知,若BDEF,则EF平面ABCD,则EFAC,故错误,故填.B组能力关1(2018静海月考)如图所示,三棱锥PABC的底面在平面内,且ACPC,平面PAC平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()A一条线段B一条直线C一个圆D一个圆,但要去掉两个点答案D解析平面PAC平面PBC,而平面PAC平面PBCPC.又AC平面PAC,且ACPC,AC平面PBC,而BC平面PBC,ACBC,点C在以AB为直径的圆上,点C的轨迹是一个圆,但是要去掉A和B两点故选D.2如图,在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为A1D1的中点,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,且EF的长为定值,则下面的四个值中不为定值的是()A点P到平面QEF的距离B三棱锥PQEF的体积C直线PQ与平面PEF所成的角D二面角PEFQ的大小答案C解析A中,因为平面QEF也就是平面A1B1CD,显然点P到平面A1B1CD的距离是定值,所以点P到平面QEF的距离为定值;B中,因为QEF的面积是定值(EF为定长,点Q到EF的距离就是点Q到CD的距离,也是定长,即底和高都是定值),再根据A的结论,即点P到平面QEF的距离也是定值,所以三棱锥PQEF的高也是定值,于是其体积固定,所以三棱锥PQEF的体积是定值;C中,因为Q是动点,PQ的长不固定,而Q到平面PEF的距离为定值,所以PQ与平面PEF所成的角不是定值;D中,因为A1B1CD,Q为A1B1上任意一点,E,F为CD上任意两点,所以二面角PEFQ的大小即为二面角PCDA1的大小,为定值3(2018全国卷)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为()A.BCD答案A解析根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的,所以在正方体ABCDA1B1C1D1中,平面AB1D1与线AA1,A1B1,A1D1所成的角是相等的,所以平面AB1D1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,同理平面C1BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成的角都是相等的,要求截面面积最大,则截面的位置为夹在两个面AB1D1与C1BD中间的,且过棱的中点的正六边形,边长为,所以其面积为S62,故选A.4如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,BAC90,ABAC2,AA14,过A1作底面ABC的垂线,垂足为BC的中点,D为B1C1的中点(1)证明:A1D平面A1BC;(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值解(1)证明:如图,设E为BC的中点,连接AE,DE,A1E.由题意得A1E平面ABC,所以A1EAE.因为ABAC,所以AEBC.所以AE平面A1BC.由D,E分别为B1C1,BC的中点,得DEBB1,且DEBB1,从而DEAA1,且DEAA1,所以四边形AA1DE是平行四边形,所以A1DAE.又因为AE平面A1BC,所以A1D平面A1BC.(2)如图,作A1FDE,垂足为F,连接BF.因为A1E平面ABC,所以BCA1E.因为BCAE,AEA1EE,所以BC平面AA1DE.所以BCA1F.又因为DEBCE,所以A1F平面BB1C1C.所以A1BF为直线A1B与平面BB1C1C所成的角由ABAC2,CAB90,得EAEB.由A1E平面ABC,得A1AA1B4,A1E.由DEBB14,DA1EA,DA1E90,得A1F.所以sinA1BF.C组素养关1如图1,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD90,ABBCADa,E是AD的中点,O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到图2中A1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE.(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a的值解(1)证明:在图1中,连接EC(图略),因为ABBCADa,BAD90,ADBC,E是AD的中点,所以四边形ABCE为正方形,所以BEAC,即在图2中,BEA1O,BEOC,又A1OOCO,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDEBE,又由(1)可知A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1BCDE的高,由图1知,A1OABa,平行四边形BCDE的面积SBCABa2,从而四棱锥A1BCDE的体积VSA1Oa2aa3,由a336,解得a6.2如图,直角三角形ABC中,BAC60,点F在斜边AB上,且AB4AF,D,E是平面ABC同一侧的两点,AD平面ABC,BE平面ABC,AD3,ACBE4.(1)求证:平面CDF平面CEF;(2)点M在线段BC上,异面直线CF与EM所成角的余弦值为,求CM的长解(1)证明:连接DE.AD平面ABC,BE平面ABC,ADBE,即AD,BE在同一平面上,且ADAB,BEAB.在RtABC中,BAC60,AC4,AB8,BC4.AB4AF,AF2,由余弦定理可得CF2.AD3,BE4,DE.在RtADF中,DF.在RtACD中,DC5.在RtBEF中,EF.DF2CF2DC2,DF2EF2DE2,DFCF,DFEF.又CFEFF,DF平面CEF.DF平面CDF,平面CDF平面CEF.(2)过点M在平面ABC中作MNCF交AB于点N,连接EN,则EMN即为异面直线CF与EM所成的角或其补角设k(0kEN,cosEMN0.cosEMN,解得k.CM(1k)BC.
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