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第1章 常用逻辑用语章末复习学习目标1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分条件、必要条件的概念，掌握充分条件、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、存在性命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定.知识点一四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题.知识点二充分条件、必要条件的判断方法1.直接利用定义判断：若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(条件与结论是相对的)2.利用等价命题的关系判断：pq的等价命题是綈q綈p，即若綈q綈p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.3.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件：(1)前提：设Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q.(2)结论：若AB，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件；若BA，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件；若AB，则p，q互为充要条件；若AB且BA，则p是q的既不充分又不必要条件.知识点三简单的逻辑联结词1.命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.2.简单复合命题的真假判断p与綈p真假性相反；pq一真就真，两假才假；pq一假就假，两真才真.知识点四全称命题与存在性命题1.全称命题与存在性命题真假的判断方法(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例.(2)判断存在性命题为真命题，需要举出正例，而判断存在性命题为假命题时，要有严格的逻辑证明.2.含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是全称命题.否定时既要改写量词，又要否定结论.1.逆否命题是“平行四边形的对角线相等”的原命题是“对角线不相等的四边形不是平行四边形”.()2.“x0”是“x20”的充分不必要条件.()3.命题“p”与命题“非p”可能都是真命题.()4.命题“xR，x2x”的否定是“xR，x2x”.()类型一四种命题及其关系例1写出命题“若(y1)20，则x2且y1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假解逆命题：若x2且y1，则(y1)20，真命题.否命题：若(y1)20，则x2或y1，真命题.逆否命题：若x2或y1，则(y1)20，真命题.反思与感悟(1)四种命题的改写步骤确定原命题的条件和结论.逆命题：把原命题的条件和结论交换.否命题：把原命题中的条件和结论分别否定.逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件，否定了的条件作结论.(2)命题真假的判断方法跟踪训练1下列四个结论：已知a，b，cR，命题“若abc3，则a2b2c23”的否命题是“若abc3，则a2b2c20，则C0.其中正确结论的个数是_.考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案2解析正确的为.类型二充分条件与必要条件例2(1)“a1”是“函数f(x)ax22x1只有一个零点”的_条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)(2)设p：2x1，q：1x1x01x2,1x1，p是q的必要不充分条件.反思与感悟条件的充要关系的常用判断方法(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假.(2)等价法：利用pq与綈q綈p，qp与綈p綈q，pq与綈q綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.(3)利用集合间的包含关系判断：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件.跟踪训练2四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的_条件.考点充分条件、必要条件的概念及判断题点充分条件、必要条件的判断答案充分不必要解析当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即ACBD.在四边形ABCD中，ACBD，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分.综上知，“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的充分不必要条件.例3设命题p：x25x60；命题q：(xm)(xm2)0，若綈p是綈q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.考点充分条件、必要条件和充要条件的综合应用题点利用充分不必要、必要不充分与充要条件求参数范围解方法一命题p：x25x60，解得2x3，p：2x3；命题q：(xm)(xm2)0，解得mxm2，q：mxm2.綈p是綈q的必要不充分条件，p是q的充分不必要条件.或解得1m2.实数m的取值范围是1,2.方法二命题p：2x3，命题q：mxm2，綈p：x3，綈q：xm2.綈p是綈q的必要不充分条件，x|xm2x|x3，故(等号不能同时取得)解得1m2，实数m的取值范围是1,2.反思与感悟利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解.(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件.跟踪训练3已知p：2x29xa0，q：2x2或a2或ay2，则xy”的逆否命题是_.考点四种命题题点四种命题概念的理解答案“若xy，则x2y2”2.已知命题p：nN,2n1000，则綈p为_.考点存在性命题的否定题点含存在量词的命题的否定答案nN,2n1000解析命题p用语言叙述为“存在自然数n，使得2n1000成立”，所以它的否定是“任意的自然数n，使得2n1000成立”，用符号表示为“nN,2n1000”.3.已知命题p：若xy，则xy，则x2y2.在命题pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中，真命题是_.(填序号)考点“pq”“pq”“綈p”形式的命题题点判断“pq”“pq”“綈p”形式命题的真假答案解析当xy时，xy时，x2y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题.由真值表知，pq为假命题；pq为真命题；p(綈q)为真命题；(綈p)q为假命题.4.对任意x1,2，x2a0恒成立，则实数a的取值范围为_.考点全称量词及全称命题题点恒成立求参数的范围答案(，0解析由x2a0，得ax2，故a(x2)min，得a0.5.已知p：x1，q：(xa)(xa1)0，若p是綈q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为_.考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围答案解析由(xa)(xa1)0，得xa1或xa，所以綈q：axa1.而p是綈q的充分不必要条件，所以有或得0a.1.否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题条件的否定作为条件，将原命题结论的否定作为结论构造一个新的命题.(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法.若命题为“若p则q”，则该命题的否命题是“若綈p则綈q”；命题的否定为“若p则綈q”.2.四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题.3.判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆.4.注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定为“不都是”，“全是”的否定为“不全是”，“至少有一个”的否定为“一个也没有”，“至多有一个”的否定为“至少有两个”.一、填空题1.已知a，b，c都是实数，则在命题“若ab，则ac2bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是_.考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案2解析当c20时，原命题不正确，故其逆否命题也不正确；逆命题为“若ac2bc2，则ab”，逆命题正确，则否命题也正确.2.给出下列四个命题：命题“若x23x20，则x1或x2”的逆命题；命题“若2x3，则(x2)(x3)0”的否命题；命题“若xy0，则x2y20”的逆否命题；命题“若x，yN*且xy是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数”的逆命题.其中是真命题的是_.(填序号)考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案解析中原命题的逆命题：若(x2)(x3)0，则2x3为假命题，则其否命题也为假命题，故为假.中的原命题为真，则其逆否命题为真，故为真.和显然为真.3.下列结论中正确的是_.(填序号)pq为真是pq为真的充分条件，但不是必要条件；pq为假是pq为假的充分条件，但不是必要条件；pq为真是綈p为假的必要条件，但不是充分条件；綈p为真是pq为假的必要条件，但不是充分条件.考点“pq”“pq”形式的命题、充分条件和必要条件题点判断“pq”“pq”“綈p”形式命题的真假，充分条件和必要条件的判断答案解析pq为真，则pq为真，反之不一定，故正确；当p真q假时，pq为假，但pq为真，故错误；当綈p为假时，p为真，所以pq为真，反之不一定，故正确；若綈p为真，则p为假，所以pq为假，故错误.4.已知数列an为等比数列，则p：a1a2a3是q：a4a5的_条件.考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析由a1a2a3可知，等比数列an是递增的，所以a4a5，充分性成立；但当a4k”是“1”的充分条件，则k的取值范围为_.考点充分条件的概念及判断题点由充分条件求参数的范围答案2，)解析由2或xkx|x2或x1，命题p：函数ylog(x22xa)的定义域为R，命题q：x21是x1，44a0恒成立，p为真命题；由x21，得1x1，当1x1时，xa成立，但当xa时，1x1不一定成立，q为真命题，从而pq为真命题.8.若命题“xR,2x23ax90”为假命题，则实数a的取值范围为_.考点存在性命题的否定题点由含量词的命题的真假求参数的范围答案2，2解析因为“xR,2x23ax90”为假命题，所以“xR,2x23ax90”为真命题，因此9a24290，故2a2.9.有下列几个命题：“若ab，则a2b2”的否命题；“若xy0，则x，y互为相反数”的逆命题；“若x24，则2x2”的逆否命题.其中真命题的序号是_.考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假答案解析原命题的否命题为“若ab，则a2b2”，错误；原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则xy0”，正确；原命题的逆否命题为“若x2或x2，则x24”，正确.10.已知p：4xa0，若綈p是綈q的充分条件，则实数a的取值范围为_.考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围答案1,6解析p：a4xa4，q：2x3.由綈p是綈q的充分条件，即綈p綈q，qp，解得1a6.二、解答题11.写出命题“若a，则方程x2xa0有实根”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假.考点四种命题的真假判断题点利用四种命题的关系判断真假解逆命题：若方程x2xa0有实根，则a；否命题：若a，则方程x2xa0无实根；逆否命题：若方程x2xa0无实根，则am，q：xR，x2mx10，如果p为假命题且q为真命题，求实数m的取值范围.考点“pq”形式的命题题点已知p且q命题的真假求参数(或其范围)解sinxcosxsin，如果p为假命题，即对xR，不等式sinxcosxm不恒成立，m.又q为真命题，即对xR，不等式x2mx10恒成立，m240，即2m2.如果p为假命题且q为真命题，应有m2.实数m的取值范围是，2).13.命题p：实数x满足x24ax3a20)，命题q：实数x满足(1)若a1，且pq为真，求实数x的取值范围；(2)若q綈p，求实数a的取值范围.考点全称命题和存在性命题，“pq”形式的命题题点全称命题和存在性命题、已知“pq”形式命题的真假求参数(或其范围)解(1)由于a1，则x24ax3a20x24x301x3，所以p：1x3.解不等式组得2x3，所以q：2x3.由于pq为真，所以p，q均为真命题.解不等式组得2x0，x24ax3a20(xa)(x3a)0xa或x3a，所以綈p：xa或x3a，设Ax|xa或x3a.由(1)知q：2x3，设Bx|2x3.由于q綈p，所以BA，所以3a或3a2，即0a或a3，所以实数a的取值范围是3，).三、探究与拓展14.设aR，s：数列(na)2是递增的数列；t：a1，则s是t的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案必要不充分解析由s：数列(na)2是递增数列，知(na)2(n1)a2，则2a2n1，解得a，所以s是t的必要不充分条件.15.已知f(x)m(x3m)(xm3)，g(x)2x4.若同时满足条件：xR，f(x)0或g(x)0；x(，4)，f(x)g(x)0，则m的取值范围为_.考点全称命题和存在性命题题点由全称命题和存在性命题求参数范围答案解析g(x)2x4，当x2时，g(x)0，又xR，f(x)0或g(x)0，f(x)m(x3m)(xm3)0在x2时恒成立，二次函数图象开口只能向下，且与x轴的交点都在x2的左侧，即解得5m0.又x(，4)，f(x)g(x)0，而此时有g(x)2x40，x(，4)，使f(x)m(x3m)(xm3)0成立，由于m0，x(，4)，使(x3m)(xm3)0成立，故只要使4比3m，m3中较小的一个大即可，当m时，3mm3，只要4m3，解得m1与m的交集为空集；当m时，两根为；4，不符合；当m时，3mm3，只要43m，解得m.综上可得m的取值范围为.
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