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课时作业(二十三)第23讲正弦定理和余弦定理的应用时间 /45分钟分值 /90分基础热身1.在相距500m的A,B两点处测量目标点C,若CAB=75,CBA=60,则A,C两点之间的距离为 ()A.1256mB.2506mC.1006mD.756m图K23-12.如图K23-1,一艘海轮从A处出发,以每小时42海里的速度沿南偏东40的方向直线航行,20分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,在A处观察灯塔,其方向是南偏东70,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65,那么B,C两点间的距离是()A.72 海里B.82 海里C.103 海里D.123 海里图K23-23.如图K23-2所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20,灯塔B在观察站C的南偏东40,则灯塔A与B之间的距离为()A.akmB.2akmC.2akmD.3akm4.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港C,两船航行方向的夹角为120,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则下午2时两船之间的距离是nmile.能力提升5.已知A,B,C是海面上的三座岛屿,测得ABC=30,BAC=105,从岛屿A到岛屿C需要30min,按照同样的速度,从岛屿A到岛屿B需要(取21.4,31.7)()A.51minB.42minC.39minD.36min图K23-36.如图K23-3,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得BCD=15,BDC=30,CD=30m,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB等于()A.56mB.153mC.52mD.156m图K23-47.如图K23-4,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18km,速度为1000km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30,经过1min后又看到山顶的俯角为75,则山顶的海拔高度为(精确到0.1km,参考数据:31.732)()A.11.4kmB.6.6kmC.6.5kmD.5.6km图K23-58.如图K23-5所示,一艘海轮从A处出发,测得灯塔在海轮的北偏东15方向,与海轮相距20nmile的B处,海轮按北偏西60的方向航行了30min后到达C处,又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向,则海轮的速度为()A.32nmile/minB.23nmile/minC.63nmile/minD.33nmile/min图K23-69.校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度为15的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30,第一排和最后一排的距离为106m(如图K23-6所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌时长为50s,要求升旗手匀速升旗,则升旗速度是 ()A.0.4m/sB.0.6m/sC.0.7m/sD.0.8m/s10.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水平面上,由炮台顶部测得俯角分别为45和60,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距m.图K23-711.如图K23-7,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.12.(12分)如图K23-8所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20nmile的C处的乙船,现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援,求cos的值.图K23-813.(13分)某航模兴趣小组的同学,为了测定在湖面上航模航行的速度,采用如下办法:在岸边设置两个观察点A,B,且AB长为80m,当航模在C处时,测得ABC=105和BAC=30,经过20s后,航模直线航行到D处,此时测得BAD=90和ABD=45.请你根据以上条件求出航模的速度.(答案保留根号)图K23-9难点突破14.(5分)如图K23-10,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为()A.14hB.15hC.16hD.17h图K23-10图K23-1115.(5分)2018南昌二模 如图K23-11,有一块半径为20米,圆心角AOB=23的扇形展示台,展示台被分成了四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC和扇形BOD(其中AOC=BOD).某次菊花展分别在这四个区域按上述顺序依次摆放泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜,预计这三种菊花展示带来的日效益依次是50元/米2,30元/米2,40元/米2.为使预计日总效益最大,COD的余弦值应等于.课时作业(二十三)1.B解析 在ABC中,由已知可得ACB=45,由正弦定理得ACsin 60=500sin 45,所以AC=5003222=2506(m).故选B.2.A解析 依题意,在 ABC中,AB=422060=14(海里),CAB=30,ACB=45,根据正弦定理得BCsin 30=ABsin 45,解得BC=72(海里).故选A.3.D解析 由题图可知,ACB=120,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB=a2+a2-2aa-12=3a2,解得AB=3a(km).故选D.4.70解析 设两船之间的距离为dnmile,则d2=502+302-25030cos120=4900,所以d=70(nmile),即两船相距70nmile.5.B解析 设从岛屿A到岛屿C的速度为v,从岛屿A到岛屿B需要tmin,由正弦定理,得30vsin 30=vtsin(180-30-105),得t=30sin 45sin 30=30242(min).故选B.6.D解析 在BCD中,CBD=180-15-30=135,由正弦定理得BCsin 30=30sin 135,所以BC=152(m).在直角三角形ABC中,AB=BCtanACB=1523=156(m).故选D.7.B解析 因为AB=1000160=503(km),ACB=45,在ABC中,由正弦定理得BC=ABsin 45sin30=5032(km),所以航线离山顶的高度h=5032sin75=5032sin(45+30)11.4(km).所以山顶的海拔高度为18-11.4=6.6(km).故选B.8.C解析 由已知得ACB=45,B=60,由正弦定理得ACsinB=ABsinACB,所以AC=ABsinBsinACB=20sin 60sin 45=106(nmile),所以海轮航行的速度为10630=63(nmile/min).故选C.9.B解析 依题意可知AEC=45,ACE=180-60-15=105,所以EAC=180-45-105=30.由正弦定理可知CEsinEAC=ACsinCEA,所以AC=CEsinCEAsinEAC=203(m).所以在直角三角形ABC中,AB=ACsinACB=20332=30(m).因为国歌时长为50s,所以升旗速度为3050=0.6(m/s).故选B.10.103解析 如图,设炮台的顶部为A,底部为O,两条小船分别为M,N,且由炮台顶部测得M的俯角为60,由炮台顶部测得N的俯角为45,则AO=30m,AMO=60,ANO=45,MON=30,ON=AOtan45=30(m),OM=AOtan30=3330=103(m),在MON中,由余弦定理得MN=900+300-23010332=300=103(m).11.1006解析 依题意,在ABC中,AB=600m,BAC=30,ACB=75-30=45,由正弦定理得BCsinBAC=ABsinACB,即BCsin 30=600sin 45,所以BC=3002(m).在BCD中,CBD=30,CD=BCtanCBD=3002tan30=1006(m).12.解:在ABC中,AB=40nmile,AC=20nmile,BAC=120,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2ABACcos120=2800,得BC=207(nmile).由正弦定理,得ABsinACB=BCsinBAC,所以sinACB=ABBCsinBAC=217.由BAC=120,知ACB为锐角,则cosACB=277.由=ACB+30,得cos=cos(ACB+30)=cosACBcos30-sinACBsin30=2114.13.解:在ABD中,因为BAD=90,ABD=45,所以ADB=45,所以AD=AB=80m,所以BD=802m.在ABC中,ACB=180-105-30=45,由正弦定理得BCsin30=ABsin45,所以BC=ABsin30sin45=801222=402(m).在DBC中,DC2=DB2+BC2-2DBBCcos60=(802)2+(402)2-280240212=9600.所以DC=406(m),航模的速度v=40620=26(m/s).故航模的速度为26m/s.14.B解析 记开始热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴中心到达B点位置,在OAB中,OA=600,AB=20t,OAB=45,根据余弦定理得OB2=6002+400t2-260020t22,令OB24502,得4t2-1202t+15750,解得302-152t302+152,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302+152-302-152=15(h).15.12解析 设COD=023,则AOC=BOD=3-2.展示台的各区域的面积依次为SOCD=12202sin=200sin,S弓形CMD=12202-12202sin=200-200sin,S扇形AOC=S扇形BOD=122023-2=2003-2,所以预计日总效益y=SOCD50+S弓形CMD30+(S扇形AOC+S扇形BOD)40=20002sin-+83.令f()=2sin-+83,则f()=2cos-1.当00,当323时,f()0,所以当f()=0,即cos=12时,f()取得最大值,即预计日总效益最大,所以COD的余弦值等于12.
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