2019高考数学一轮复习 第4章 三角函数 第7课时 正、余弦定理练习 理.doc

第7课时 正、余弦定理第一次作业1(2018安徽马鞍山一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a，b2，A60，则c()A.B1C. D2答案B解析a，b2，A60，由余弦定理a2b2c22bccosA，得34c222c，整理得c22c10，解得c1.故选B.2(2018山西五校联考)在ABC中，ab，A120，则角B的大小为()A30 B45C60 D90答案A解析由正弦定理得，解得sinB.因为A120，所以B30.故选A.3(2018陕西西安一中期中)在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是()A(0， B，)C(0， D，)答案C解析sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，由正弦定理，得a2b2c2bc，bcb2c2a2.cosA，A.A0，A的取值范围是(0，故选C.4(2018广东惠州三调)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b2，c2，且C，则ABC的面积为()A.1 B.1C4 D2答案A解析由正弦定理，得sinB.又cb，且B(0，)，所以B，所以A，所以SbcsinA22sin21.故选A.5(2018东北八校联考)已知ABC三边a，b，c上的高分别为，1，则cosA()A. BC D答案C解析设ABC的面积为S，则a4S，B2S，c2S，因此cosA.故选C.6(2016山东)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sinA)则A()A. B.C. D.答案C解析由余弦定理得a2b2c22bccosA2b22b2cosA，所以2b2(1sinA)2b2(1cosA)，所以sinAcosA，即tanA1，又0A，所以A.7(2014江西，文)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3a2b，则的值为()A B.C1 D.答案D解析由正弦定理可得2()212()21，因为3a2b，所以，所以2()21.8(2018安徽合肥检测)在锐角三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(ab)(sinAsinB)(cb)sinC.若a，则b2c2的取值范围是()A(3，6 B(3，5)C(5，6 D5，6答案C解析(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cosA，A，BC.又ABC为锐角三角形，解得B.由正弦定理2，得b2sinB，c2sinC，b2c24(sin2Bsin2C)4sin2Bsin2(B)42cos(2B)又B，2Bb，C60或C120.A90或A30.SABCbcsinA或.10(2018河南信阳调研)在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为ABC的面积，S(a2b2c2)，则C的大小为_答案解析ABC的面积为SabsinC，由S(a2b2c2)，得(a2b2c2)absinC，即absinC(a2b2c2)根据余弦定理，得a2b2c22abcosC，absinC2abcosC，得sinCcosC，即tanC.C(0，)，C.11(2017甘肃定西统考)在ABC中，若，则ABC的形状为_答案等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得，即.sinA0，sinB0，sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B.2A2k2B或2A2k2B(kZ)0A，0B，k0，则AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形12(2018河北唐山一模)在ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且AC90，则cosB_答案解析a，b，c成等差数列，2bac.2sinBsinAsinC.AC90，2sinBsin(90C)sinC.2sinBcosCsinC.2sinBsin(C45)ABC180且AC90，C45，代入式中，2sinBsin(90)2sinBcos.4sincoscos.sin.cosB12sin21.13(2018广东揭阳一模)在ABC中，B，AC1，点D在边AB上，且DADC，BD1，则DCA_答案或解析如图，过点C作CEAB于E.设AACD，则CDB2.在RtAEC中，CEsin，则在RtCED中，DE.在RtCEB中，BEsin.由BD1，得sin1sincos2sinsin2sin2cos2sin22coscoscos(2)2或.14(2017北京，理)在ABC中，A60，ca.(1)求sinC的值；(2)若a7，求ABC的面积答案(1)(2)6解析(1)根据正弦定理：sinCsin60.(2)当a7时，ca3a，又sinC，cosC.在ABC中，sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC，SABCacsinB736.15(2018河南豫南九校质量考评)已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且b4.(1)求角B；(2)求ABC面积的最大值答案(1)(2)4解析(1)根据题意，由余弦定理得，再由正弦定理得，整理得sinBcosC2sinAcosBcosBsinC，sinBcosCcosBsinC2sinAcosB.即sin(BC)2sinAcosB，又sin(BC)sinA0，cosB.B(0，)，B.(2)由b2a2c22accosB，得16a2c2ac2acac，ac16，当且仅当ac4时取等号则ABC的面积SacsinB16sin4，即ABC面积的最大值为4.16(2017课标全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cosB；(2)若ac6，ABC的面积为2，求b.答案(1)(2)2解析(1)依题意，得sinB8sin284(1cosB)sin2Bcos2B1，16(1cosB)2cos2B1，(17cosB15)(cosB1)0，cosB.(2)由(1)可知sinB.SABC2，acsinB2，ac2，ac.cosB，a2c2b215，(ac)22acb215，3617b215，b2.17(2018福建高中毕业班质检)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosCc2a.(1)求B的大小；(2)若a3，且AC边上的中线长为，求c的值答案(1)(2)5解析(1)2bcosCc2a，由余弦定理得2bc2a，化简得a2c2b2ac，cosB.B(0，)，B.(2)由(1)可得b2a2c2acc23c9.又cosC，取AC的中点D，连接BD，在CBD中，cosC，由得2c2b21.由得c23c100，解得c5或c2(舍去)，c5.18(2018衡水中学调研卷)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosAsinAcosCcosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b2，c1，D为BC的中点，求AD的长答案(1)(2)解析(1)方法一：由题设知，2sinBcosAsin(AC)sinB，因为sinB0，所以cosA.由于0A，故A.方法二：由题设可知，2bac，于是b2c2a2bc，所以cosA.由于0A，故A.(2)方法一：因为2()2(222)(14212cos)，所以|，从而AD.方法二：因为a2b2c22bccosA412213，所以a2c2b2，B.因为BD，AB1，所以AD.第二次作业1(2015广东，文)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a2，c2，cosA且bc，则b()A3 B2C2 D.答案C解析由余弦定理得a2b2c22bccosA，即4b2126bb26b80(b2)(b4)0，由bc，得b2.2在ABC中，AC，BC2，B60，则BC边上的高等于()A. B.C. D.答案B解析由余弦定理，得()222AB222ABcos60，即AB22AB30，得AB3.故BC边上的高是ABsin60.选B.3(2018北京西城期末)已知ABC中，a1，b，B45，则A等于()A150 B90C60 D30答案D解析由正弦定理，得，得sinA.又ab，Aa，cb，即角C最大，所以a3b3aa2bb2ca2cb2，即c3ca2cb2，所以c20，则0C，即三角形为锐角三角形6(2018上海杨浦质量调研)设锐角ABC的三内角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且a1，B2A，则b的取值范围为()A(，) B(1，)C(，2) D(0，2)答案A解析由，得b2cosA.AB3A，从而A.又2A，所以A，所以A，cosA，所以ba1，故有abc2，所以ABC的周长的取值范围是(2，39(2015广东，理)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b_答案1解析由sinB得B或，因为C，所以B，所以B，于是A.由正弦定理，得，所以b1.10(2018湖北黄冈中学、黄石二中、鄂州高中三校联考)已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m(sinB，1cosB)与向量n(2，0)的夹角的余弦值为.(1)求角B的大小；(2)若b，求ac的取值范围答案(1)(2)(，2解析(1)m(sinB，1cosB)，n(2，0)，mn2sinB，|m|2|sin|.0B，00.|m|2sin.又|n|2，coscos.，B.(2)由余弦定理，得b2a2c22accosa2c2ac(ac)2ac(ac)2()2(ac)2，当且仅当ac时，取等号(ac)24，即ac2.又acb，ac(，211.如图所示，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长答案(1)(2)BD3，AC7解析(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC.所以sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB.(2)在ABD中，由正弦定理，得BD3.在ABC中，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcosB825228549.所以AC7.12.如图，在等腰直角OPQ中，POQ90，OP2，点M在线段PQ上(1)若OM，求PM的长；(2)若点N在线段MQ上，且MON30，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值答案(1)MP1或MP3(2)POM30时，OMN面积最小值为84解析(1)在OMP中，OPM45，OM，OP2，由余弦定理得，OM2OP2MP22OPMPcos45，得MP24MP30，解得MP1或MP3.(2)设POM，060，在OMP中，由正弦定理，得，OM，同理ON.故SOMNOMONsinMON.060，30230150，当30时，sin(230)的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值，即POM30时，OMN的面积的最小值为84.13(2017课标全国，理)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinAcosA0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积答案(1)4(2)解析(1)由已知可得tanA，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240.解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.14(2017山东，文)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b3，6，SABC3，求A和a.答案；解析因为6，所以bccosA6，又SABC3，所以bcsinA6，因此tanA1，又0Aa，B60或120.若B60，C90，c2.若B120，C30，ac.2(2017西安五校模拟)M为等边ABC内一动点，且CMB120，则的最小值为_答案解析如图，在正ABC中，设MBC，则ACM，在BMC中，根据正弦定理可得.在AMC中，根据正弦定理可得.得.3(2015安徽，文)在ABC中，AB，A75，B45，则AC_答案2解析因为A75，B45，所以C60，由正弦定理可得，解得AC2.4(2015课标全国，理)在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_答案(，)解析如图，作PBC，使BC75，BC2，作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合)，且使BAD75，则四边形ABCD就是符合题意的四边形过C作AD的平行线交PB于点Q，在PBC中，可求得BP，在QBC中，可求得BQ，所以AB的取值范围是(，)