2019高考数学一轮复习 不等式选讲 第2课时 不等式的证明与柯西不等式练习 理.doc

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第2课时 不等式的证明与柯西不等式1设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是()A(a3)22a26a11Ba2aC|ab|2D.答案C解析(a3)2(2a26a11)a22b时,恒成立,当ab时,不恒成立;由不等式0,y0,aR,bR.求证:()2.答案略证明因为x0,y0,所以xy0.所以要证()2,即证(axby)2(xy)(a2xb2y),即证xy(a22abb2)0,即证(ab)20,而(ab)20显然成立故()2.7(2014江苏)已知x0,y0,证明:(1xy2)(1x2y)9xy.答案略证明因为x0,y0,所以1xy230,1x2y30.故(1xy2)(1x2y)339xy.8(2018福建质量检查)若a,b,cR,且满足abc2.(1)求abc的最大值;(2)证明:.答案(1)(2)略解析(1)因为a,b,cR,所以2abc3,故abc.当且仅当abc时等号成立所以abc的最大值为.(2)证明:因为a,b,cR,且abc2,所以根据柯西不等式,可得(abc)()()2()2()2()2()2()2()2.所以.9(2016课标全国,理)已知函数f(x)|x|x|,M为不等式f(x)2的解集(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|ab|1ab|.答案(1)x|1x1(2)略解析(1)f(x)当x时,由f(x)2得2x1;当x时,f(x)2;当x时,由f(x)2得2x2,解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)由(1)知,当a,bM时,1a1,1b1,从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|0,b0,且ab.证明:(1)ab2;(2)a2a2与b2b0,b0,得ab1.(1)由基本不等式及ab1,有ab22,即ab2.(2)假设a2a2与b2b2同时成立,则由a2a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab1矛盾故a2a2与b2b2不可能同时成立11(2018广州综合测试)已知函数f(x)|xa1|x2a|.(1)若f(1)3,求实数a的取值范围;(2)若a1,xR,求证:f(x)2.答案(1)(,)(2)见解析解析(1)因为f(1)3,所以|a|12a|3.当a0时,得a(12a),所以a0;当0a时,得a(12a)2,所以0a;当a时,得a(12a)3,解得a,所以a0,n0,且mn1,求证:2.答案(1)1,3(2)略解析(1)方法一:依题意,f(x)f(x)min2.不等式f(x)a22a1恒成立,a22a30,解得1a3,实数a的取值范围是1,3方法二:f(x)|2x1|2x1|(2x1)(2x1)|2,f(x)min2.不等式f(x)a22a1恒成立,a22a30,解得1a3,实数a的取值范围是1,3(2)由(1)知f(x)2,22.()22(mn)224(2m1)(2n1)8,当且仅当mn时等号成立2,2.1(2017武汉4月调研)(1)求不等式|x5|2x3|1的解集;(2)若正实数a,b满足ab,求证:1.答案(1)x|7x(2)略解析(1)当x时,x52x31,解得x7,7x;当x5时,x52x31,解得x,x;当x5时,x5(2x3)1,解得x9,舍去综上,7x.故原不等式的解集为x|7x(2)要证1,只需证ab21,即证2,即证.而ab2,成立,原不等式成立2已知函数f(x)m|x2|,mR,且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值;(2)若a,b,cR,且m,求证:a2b3c9.答案(1)1(2)略解析(1)因为f(x2)m|x|,f(x2)0等价于|x|m,由|x|m有解,得m0,且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1,故m1.(2)证明:由(1)知1,又a,b,cR,由柯西不等式,得a2b3c(a2b3c)()()29.
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